Kann eine Theorie ihre auf eine Menge relativierten Axiome (schematisch) beweisen?

Question

Kann eine Theorie ihre auf eine Menge relativierten Axiome (schematisch) beweisen?

Logik
Mengenlehre
Mathematik
Modelltheorie

ikrto

In $\mathsf{ZFC}$ , eine etwas betrügerische Art, "transitive Modelle" ohne Kosten in Konsistenz zu kaufen, besteht darin, der Sprache ein konstantes Symbol hinzuzufügen $M$ und ergänzen $\mathsf{ZFC}$ die Axiome, die das aussagen $M$ abzählbar transitiv, und für jedes Axiom von $\mathsf{ZFC}$ , fügen Sie seine Relativierung hinzu $M$ . Dadurch können wir "vorgeben", dass wir ein transitives Modell von haben $\mathsf{ZFC}$ (Der Haken ist, dass dies ein Theorem-Schema ist).

Ich frage mich, ob das Hinzufügen eines konstanten Symbols notwendig ist. Mit anderen Worten, kann es eine Theorie geben $T$ (erweitern $\mathsf{ZFC}$ ) in der Sprache $\{\in\}$ , so dass T beweisen kann, dass es eine Menge gibt $M$ , Und $T$ beweist jedes seiner eigenen Axiome relativiert zu $M$ ?

ikrto

@HanulJeon Ich denke, darauf beziehe ich mich in meinem ersten Absatz. Oder schlagen Sie vor, dass dies ohne Erweiterung der Sprache möglich ist?

Hanul Jeon

Ich habe Ihre Frage falsch gelesen, also habe ich den vorherigen Kommentar entfernt.

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Kann eine Theorie ihre auf eine Menge relativierten Axiome (schematisch) beweisen?

@HanulJeon Ich denke, darauf beziehe ich mich in meinem ersten Absatz. Oder schlagen Sie vor, dass dies ohne Erweiterung der Sprache möglich ist?
Ich habe Ihre Frage falsch gelesen, also habe ich den vorherigen Kommentar entfernt.

Noah Schweber · Answer 1

$\mathsf{ZFC}$ besitzt diese Eigenschaft bereits. Speziell:

Der Reflexionssatz zeigt, dass jedes Modell von $\mathsf{ZFC}$ - sogar von $\mathsf{ZFC+\neg Con(ZFC)}$ - enthält ein Modell von $\mathsf{ZFC}$ . (Dieses Modell ist möglicherweise intern kein Modell von $\mathsf{ZFC}$ , weshalb dies keine offensichtliche Absurdität ist.)
Die Tatsache, dass Erfüllbarkeit absolut ist $L$ Lassen Sie uns dann über das ein bestimmtes Modell auswählen $L$ -Bestellung.

Die Einzelheiten sind wie folgt:

Arbeiten in $\mathsf{ZFC}$ , korrigieren Sie einige Standardaufzählungen der $\mathsf{ZFC}$ Axiome und let $T_0$ das größte Anfangssegment dieser Aufzählung sein, das konsistent ist. Klassischerweise haben wir das natürlich (unter den üblichen Annahmen). $T_0=\mathsf{ZFC}$ ; Beachten Sie das in der Zwischenzeit $\mathsf{ZFC}$ beweist " $T_0$ ist konsistent" (trivialerweise) sowie " $\varphi\in T_0$ " für jede $\varphi\in\mathsf{ZFC}$ (nach dem Reflexionssatz).

Jetzt seit $\mathsf{ZFC}$ beweist das $T_0$ konsequent ist, können wir - in $\mathsf{ZFC}$ - halten $M=$ das am wenigsten konstruierbare Mengenmodell von $T_0$ , wobei sich "am wenigsten" auf die Standardreihenfolge bezieht $L$ . Das ist nachweislich drin $\mathsf{ZFC}$ ein Modell von $T_0$ , und so für jeden $\mathsf{ZFC}$ -Axiom $\varphi$ wir haben $\mathsf{ZFC}\vdash M\models\varphi$ wie gewünscht.

Danke! Ich glaube, der erste Aufzählungspunkt bezieht sich auf den Satz in Hamkins Antwort hier ? Eine andere Frage: seit $\mathsf{ZFC}$ beweist $T_0$ konsistent ist, können wir das am wenigsten konstruierbare Mengenmodell auswählen $T_0$ . Das ist weil $V$ Und $L$ einigen Sie sich auf die Konsistenz der ce-Theorien durch den Satz von Shoenfield, richtig?
@ikrto Zum ersten, ja. Zum zweiten ist das Aufrufen von Shoenfield ein galaktischer Overkill, und Ce-ness wird nicht wirklich benötigt. Das richtige Argument ist das folgende. Erst seit $L$ Und $V$ dieselben natürlichen Zahlen haben, stimmen sie über die Konsistenz konstruierbarer Theorien überein $L$ . Das bedeutet erstmal das $T_0=T_0^L$ (Denken Sie darüber nach, wie wir definiert haben $T_0$ ) und zweitens $\mathsf{ZFC}\vdash \mathsf{Con}(T_0)\leftrightarrow\mathsf{Con}(T_0)^L$ . Verwenden Sie nun die Tatsache, dass der Vollständigkeitssatz gilt $L$ , was eine Folge davon ist $L$ Befriedigung einer winzig kleinen Menge $\mathsf{ZFC}$ (z.B $\mathsf{KP}$ reicht).
Auch das ist erwähnenswert $T_0$ ist in a definiert $\Pi^0_1$ , nicht $\Sigma^0_1$ , Weg. Da es sich natürlich um ein Anfangssegment einer berechenbaren Theorie gemäß einer berechenbaren Ordnung handelt, ist es selbst berechenbar, aber irgendwie ist es "moralisch" nicht berechenbar oder sogar ce. Dies ist kein Punkt, auf den es hier ankommt, aber es ist ordentlich und ich bin leicht abgelenkt durch glänzende Gegenstände.
@spaceisdarkgreen: Offensichtlich wenn $M$ ist ein $\omega$ -Modell, muss es mit seiner Metatheorie zu den Axiomen von ZFC übereinstimmen, also haben wir, wenn wir das minimale transitive Modell von ZFC nehmen, ein Universum von ZFC, in dem es keine transitiven Modelle von ZFC gibt, aber da die Theorie dieselbe ist, mit a Eine Menge, die "jedes der Axiome" erfüllt, würde bedeuten, dass sie ZFC (intern und extern) erfüllt, daher gibt es dort keine transitiven Modelle.

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ikrto

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