Der Anwendungsbereich der Axiomatischen Mengenlehre

Ich studiere derzeit die ZF-Mengentheorie in Bezug auf Logik erster Ordnung und habe Probleme, die Motivation hinter dieser axiomatischen Formulierung der Mengentheorie zu verstehen.

Die ZF-Mengentheorie ist eine Sprache erster Ordnung mit den richtigen Axiomen von Extensionalität, Grundlage, Spezifikation, Vereinigung, Paarung, Ersetzung, Potenzmenge, Wohlordnung und Unendlichkeit.

Aber warum?

Ist die ZF-Mengentheorie nur ein Modell für die universelle Mengenlehre in der gleichen Weise, wie die klassische Lagrange-Mechanik nur ein Modell für das Universum ist? Dh beide sind nicht perfekt?

Was ist sonst die Rechtfertigung für die Wahl dieser Axiome, auf welcher „Logik“ basieren wir unsere Entscheidungen?

Denn wenn wir die Theorie um das Auswahlaxiom erweitern, haben wir ein neues Axiom hinzugefügt.

Was ist die Rechtfertigung dafür, das Auswahlaxiom hinzuzufügen, und nicht andere Aussagen, die wir nicht beweisen können (die sich in der Mengenlehre als unbeweisbar erwiesen haben); wie die Kontinuumshypothesen, sofern sie mit den gängigen Axiomen konsistent sind?

Warum können wir nicht jede Aussage hinzufügen, die sich innerhalb des Systems als unbeweisbar erwiesen hat, warum fügen wir nur das Auswahlaxiom hinzu?

Was ist vor diesem Hintergrund der Anwendungsbereich der ZF(C)-Mengentheorie?

Gödel geht vieles von dem, was Sie fragen, in seinem Aufsatz mit dem Titel „Was ist Cantors Kontinuumsproblem?“ an. Ich habe es hier hochgeladen (es wird in dreißig Tagen automatisch gelöscht). Das Fazit ist: Wir verwenden diese Axiome, weil sie wahr sind (aus realistischer Sicht) und weil sie funktionieren – die Mathematik kommt gut aus ihnen heraus.
Sie können das Axiom der Wahl nicht hinzufügen, wenn Sie bereits eine Wohlordnung haben. Ich meine, du kannst, aber es wird nichts ändern.
Hier scheint es mehrere unterschiedliche Fragen zu geben: (1) Warum bevorzugen wir das System ZFC (im Gegensatz zu z. B. ZF oder ZFC+CH)? (2) Stellt die Unfähigkeit von ZFC, „natürliche“ Fragen zu beantworten, einen „grundlegenden Fehler“ von ZFC dar? (3) Ist das Programm „Füge immer wieder Axiome hinzu, wenn du auf ein unentscheidbares Problem stößt“ ein gutes Programm (und welche Kriterien verwenden wir, um das zu beurteilen)? (4) Warum suchen wir überhaupt nach Mengentheorien für die Grundlagen der Mathematik (noch bevor wir uns speziell auf ZFC festgelegt haben - das heißt, warum Mengen im Gegensatz zu, ich weiß nicht, Fleens)?
Und möglicherweise mehr. Können Sie den Umfang dieser Frage eingrenzen? Ich denke, in Ermangelung eines konzentrierteren Fokus wird es schwierig sein, dies zufriedenstellend zu beantworten.
Ich habe den letzten Satz entfernt, da er Unsinn ist und Gefahr läuft, eine ansonsten vernünftige Frage zu entgleisen.
Penelope Maddys „Believing the Axioms“ ( PDF ) geht auf die historischen und modernen Gründe ein, die viele Mengentheoretiker für die Annahme verschiedener mengentheoretischer Axiome haben. Ihre Interpretation der Begründung und wie überzeugend sie ist, hängt von Ihrer philosophischen Haltung gegenüber der Mathematik ab. Maddy ist ziemlich klar über ihre Haltung.
In ZF allein können Sie viele elementare Ergebnisse in der Analyse nicht beweisen und müssen einen Großteil der Maßtheorie aufgeben. Ein aktuelles Forschungsgebiet besteht darin, herauszufinden, welche spezifischen Konsequenzen von AC noch mit ZF+AD übereinstimmen.... AD ist das Axiom der Bestimmtheit, das AC widerspricht, aber einige der Konsequenzen von AC zulässt.

Antworten (2)

Wenn wir jede Aussage, die sich in ZFC als unbeweisbar erwiesen hat, zu ZFC hinzufügen , würden wir ein inkonsistentes System erhalten, da es Sätze gibt, die in ZFC sowohl nicht beweisbar als auch nicht widerlegbar sind.

Nehmen wir den Sonderfall der Kontinuumshypothese, CH. Sowohl CH als auch seine Negation sind in ZFC nicht beweisbar. Wir können also immer nur einen davon zu ZFC hinzufügen. Aber dann müssen wir uns entscheiden, welche. Natürlich können wir vorübergehend entweder CH oder seine Negation annehmen, aber wenn wir „ein für alle Mal“ eines hinzufügen wollten, müssten wir entscheiden, ob es einen Konsens gibt, CH anzunehmen, oder einen Konsens, die Negation anzunehmen . Da es für keine dieser Optionen ein allgemein akzeptiertes Argument gibt, fügen wir keines der beiden Axiome dauerhaft zu ZFC hinzu.

Die Axiome in ZFC stehen alle im Einklang mit einem bestimmten Verständnis von Mengen als eine kumulative Hierarchie bildend. Tatsächlich ist ZFC als Theorie darauf ausgelegt, die kumulative Hierarchie zu untersuchen, und nicht irgendwelche Mengen, die außerhalb davon existieren könnten. Aber unser Verständnis der kumulativen Hierarchie ist nicht vollständig, sodass wir keine Ahnung haben, ob CH (zum Beispiel) gelten sollte.

Es wurde viel darüber geschrieben, ob neue Axiome als "Basisaxiome" in der Mathematik hinzugefügt werden sollten, um ZFC zu erweitern. Siehe zum Beispiel

Feferman, S., Friedman, H., Maddy, P., & Steel, J. (2000). Braucht die Mathematik neue Axiome? Bulletin of Symbolic Logic, 6(4), 401-446. doi:10.2307/420965

Als interessanter Punkt sagt Gödel im vierten Abschnitt des Artikels, den ich in den Kommentaren erwähnt habe, dass "bestimmte Tatsachen (zu Cantors Zeit nicht bekannt) (...) darauf hinzudeuten scheinen, dass Cantors Vermutung [ dh die CH ] sich bewahrheiten wird sich irren".

Ich bin kein Historiker, daher kann ich nichts darüber sagen, warum Zermelo und Fraenkel genau auf diese Liste von Axiomen gekommen sind. Ich glaube jedoch, dass sie der Meinung waren, dass es sich um eine Liste handelt, die die wichtigsten Eigenschaften der "naiven" Mengenlehre verkörpert und gleichzeitig die Paradoxien vermeidet, die begonnen hatten, die Grundlagen der Mathematik zu erschüttern.

Hätten sie eine andere Liste erstellen können? Fast sicher. Und die Mengenlehre, wie wir sie heute kennen, könnte etwas anders gewesen sein. Aber nicht zu unterschiedlich: Denken Sie daran, dass sie (vermutlich) so viel wie möglich von der naiven Mengenlehre beibehalten wollten, also musste jede Axiomliste, die sie erstellten, zu einer Theorie führen, die unserer heutigen nahe kommt.

Historisch gesehen hat Zermelo zuerst einen schwächeren Satz von Axiomen entwickelt ( en.wikipedia.org/wiki/Zermelo_set_theory ). Zermelos Artikel von 1908 wurde geschrieben, bevor unser gegenwärtiges Verständnis der Logik erster Ordnung sehr weit entwickelt war. Seine Axiome wurden verfeinert und poliert, basierend auf Ideen, die unabhängig voneinander von Fraenkel und Skolem vorgeschlagen wurden (z. B. das Ersetzungsaxiom und die Verwendung von Logik erster Ordnung, um das Verständnisschema zu formulieren). Aus irgendeinem Grund wurde Skolems Name nicht mit der Theorie in Verbindung gebracht. Das Regelmäßigkeitsaxiom wurde separat hinzugefügt und zuerst von Mirimanoff vorgeschlagen.
@CarlMummert. K. Kunen enthält in Set Theory: An Introduction to Independence Proofs ein weiteres Axiom: Existenz: ∃ X ( X = X ) . Er zeigt zunächst die axiomatische Entwicklung eines Großteils von ZF und ZFC, die ohne Verwendung des Unendlichkeitsaxioms durchgeführt werden kann. Ohne Unendlichkeit und ohne Existenz haben Sie Axiome, die alle mit „ ∀ " und du kannst keinen Satz beweisen, der mit " beginnt ∃ ".
@DanielWainfleet: In der modernen Logik wird das Existenzaxiom normalerweise als Teil der zugrunde liegenden Logik erster Ordnung angesehen. es folgt aus den Regeln des Beweissystems auch dann, wenn keine unlogischen Axiome angenommen werden. Kunens Erwähnung als Axiom ist ein wenig idiosynkratisch.
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