NBG konservative Verlängerung von ZFC?

Was in diesem Fall mit "konservativer Erweiterung" gemeint ist, ist:

Nehmen Sie einen beliebigen Satz in der Sprache von ZFC und übersetzen Sie ihn in NBG, indem Sie jeden Quantor neu schreiben, um seine Variable auf den Bereich nur über Mengen zu beschränken . Dann ist der umgeschriebene Satz genau dann ein Satz von NBG, wenn der ursprüngliche Satz ein Satz von ZFC ist.

Es gibt Sätze in NBG, die keiner ZFC-Formel unter dieser Übersetzung entsprechen, und die Eigenschaft "konservative Erweiterung" sagt überhaupt nichts über diese Sätze aus. Deshalb ist es eine Erweiterung .

(Um die Eigenschaft zu beweisen, unter der Annahme, dass die Metatheorie eine Mengentheorie ist, beachten Sie, dass jedes Modell von ZFC ein Modell von NBG werden kann, indem jede definierbare Sammlung, die nicht bereits eine Menge ist, dem Modell als richtige Klasse hinzugefügt wird. Dies ergibt ein Modell von NBG, wobei die Übersetzung eines ZFC-Satzes im erweiterten Modell genau dann wahr ist, wenn der ursprüngliche Satz im ursprünglichen Modell wahr war.Umgekehrt erzeugt bei einem gegebenen Modell von NBG das Entfernen der richtigen Klassen daraus ein Modell von ZFC).

Der einfachste Weg, sich dies vorzustellen, besteht wahrscheinlich darin, NBG als zweigeteilte Theorie mit kleingeschriebenen Variablen zu formulieren$x, y, z, \dots$Variieren über nur Sätze und Großbuchstaben-Variablen$X, Y, Z, \dots$in allen Klassen unterschiedlich. Dann für jede Formel$\varphi$alle deren Variablen gesetzte Variablen sind,$\varphi$ist beweisbar in NBG iff$\varphi$ist in ZFC beweisbar.

Um die vorherigen Antworten zu ergänzen, ist hier ein Beweis$NBG$ist konservativ vorbei$ZFC$.

Betrachten Sie zunächst einen Transitiv$(M,\in)\vDash\\$$ZFC$. Dann ist es leicht zu sehen$(2^M,\in)\vDash\\$$NBG-Global\,Choice$. Um die Auswahl zu sehen, beachten Sie die Formel "$z=(x,y)$" Ist$\Delta_0$und so absolut in$M$. Deshalb$M^2\subseteq\\$$M$und wenn also$R$ist eine gute Reihenfolge von$M$,$R\subseteq\\$$M$. Eine solche Brunnenordnung existiert durch normale Wahl.

Nun lass$(N,E)$nicht transitiv sein. Dann lass$\pi(x)$ein Isomorphismus zwischen sein$(N,E)$und etwas transtiv$(M,\in)$. Dann wenn$R$ist eine gute Reihenfolge von$M$,$W=${$(\pi(x),\pi(y))|(x,y)\in\\$$R$} gut bestellt$(N,E)$Und$W\subseteq_EN^2$.