Warum sollte die zugrunde liegende Menge eines Modells eine Menge sein?

In der Logik (insbesondere in der Modell- und Mengenlehre) definiert man ein Modell A für eine gegebene Unterschrift S durch eine zugrunde liegende Menge gegeben sein A und eine zusätzliche Struktur (womit ich meine: für jedes konstante Symbol in S ein Element von A , für jeden N -äres Funktionssymbol in S eine Funktion A N → A , usw). In der Mengenlehre betrachtet man oft Modelle, die einige mengentheoretische Axiome erfüllen (oft nimmt man ZFC); diese Modelle haben die Form ( v , ∈ ) , Wo v heißt ein Universum und ∈ eine binäre Beziehung auf v .

Ich finde es philosophisch unbefriedigend, dass mengentheoretische Universen Mengen sein sollten , da dieses Universum innerhalb eines mengentheoretischen Universums, das ZFC erfüllt, denkt, dass es eine richtige Klasse ist, wenn Sie wissen, was ich meine.

Warum erlaubt man Modellen/Universen nicht, richtige Klassen zu sein?

Warum sind die mengentheoretischen Universen Mengen?

Diese Antwort könnte für Ihre Frage relevant sein: math.stackexchange.com/a/1368646/630
Ich frage mich, ob diese Frage ein Duplikat von math.stackexchange.com/q/56726/630 ist . Ich stimme im Moment nicht ab, um zu sehen, ob andere zustimmen.
@Carl Ich glaube nicht, dass es ein Duplikat dieser Frage ist.
@CarlMummert Definitiv stark verwandt. Die andere Frage scheint jedoch teilweise nicht zu verstehen, wie eine Mengenlehre überhaupt ein Modell haben kann, und ist spezifischer für die Mengenlehre. Bei dieser Frage geht es eher darum, warum wir darauf bestehen, dass Modelle allgemeiner festgelegt werden.

Antworten (1)

Einer der Gründe ist, dass die Z F C Axiome sind nicht dafür ausgestattet, Klassen richtig zu handhaben. Zum Beispiel Z F beweist, dass alle Axiome von Z F C im inneren Modell halten L , was eine richtige Klasse ist. Aber wir können für diese Klasse keine Wahrheitsdefinition definieren, da dies den Satz von Tarski verletzen würde. Und der Beweis, dass alle Axiome gelten L ist kein Einzelbeweis, sondern ein Schema von Beweisen.

Sicherlich können wir mit einigen Klassenmodellen relativ gut umgehen (zB die surrealen Zahlen, die eine relativ einfache Theorie haben), aber willkürlich gesprochen? Wir möchten, dass unsere grundlegende Theorie Zugang zur Wahrheitsdefinition einer Struktur hat. Welche Art von Grundlage liefert uns sonst die Theorie?

Wie Sie sehen, sind fast alle Aussagen über Klassenmodelle der Mengenlehre metatheoretische Aussagen.

Ja, wir könnten Klassentheorien wie verwenden K M (Kelley-Morse) und N B G (von Neumann-Goedel-Bernays), und dies könnte uns erlauben, die Reichweite von Wahrheitsdefinitionen für verschiedene Klassenmodelle zu erweitern; aber sicherlich nicht für das gesamte Universum, denn das würde Tarskis Theorem über die Undefinierbarkeit der Wahrheit widersprechen. Das Universum der Mengenlehre wird also im Wesentlichen immer eine interne Klasse sein.

Danke. Aber ich verstehe schon Ihren ersten Satz nicht: Reichen die Axiome der Morse-Kelley-Mengentheorie nicht aus, um Klassen zu behandeln?
Ein bißchen. Und tatsächlich können wir in MK das Wahrheitsprädikat für die Klasse der Mengen mit definieren ∈ . Dies kostet uns jedoch etwas, da es bedeutet, dass es eine Sammlung natürlicher Zahlen gibt, die eine echte Klasse ist.
@AsafKaragila Könnten Sie bitte Ihre letzte Bemerkung näher erläutern?
@Rene: Sie können den Blogbeitrag von Joel Hamkins zu diesem Thema direkt hier lesen: jdh.hamkins.org/km-implies-conzfc
@Asaf: Danke, ich glaube, ich verstehe langsam, worauf Sie hinauswollen, dass ZFC unsere grundlegende Theorie ist, die als Begriff der Sammlung von Objekten "eingestellt" wurde. Wenn wir also von einer „Sammlung von Objekten“ sprechen wollen, verwenden wir standardmäßig „set“. Aber wenn wir noch einen Schritt weiter gehen und über unser Universum von "Sammlungen"/"Sets" selbst sprechen wollen, müssen wir einen anderen Begriff ("Klasse") verwenden.
@Treppe: Ja genau.
@AsafKaragila Nun, ich habe den Hamkins-Blog einmal oberflächlich behandelt (weniger als das, was er verdient), es scheint, als würde er ein Set definieren S unter Verwendung der Klassentheorie zweiter Ordnung und zeigt dies dann S = N .
@Rene: Ich glaube, du hast an der falschen Stelle gesucht. Die allgemeine Idee ist, dass jetzt der Levy-Montague-Reflexionssatz kein Metasatz ist, sondern ein Satz, wenn er auf Aussagen angewendet wird, die nur Mengen betreffen. So erhält man insbesondere eine einheitliche Definition für ein Wahrheitsprädikat. Dies ist derselbe Trick wie der Beweis, dass wir in vollständiger Arithmetik zweiter Ordnung ein Wahrheitsprädikat erster Ordnung definieren können.
"Eine Sammlung natürlicher Zahlen, die eine richtige Klasse ist"? Hat MK nicht wie NBG eine Regel, dass die Schnittmenge zwischen einer Menge und einer Klasse eine Menge ist? (Das habe ich aus Mendelsons kurzer Beschreibung davon bekommen. Jedenfalls).
@Henning: Ich denke, Sie haben Recht (zumindest wenn Sie die "Größenbeschränkung" einbeziehen, die in den Wikipedia-Einträgen erscheint). Ich habe einiges falsch verstanden. Mein Punkt ist jedoch, dass die Wahrheitsdefinition als Klasse zugänglich ist, nicht als Menge. In dem Sinne, dass jede parameterfreie Definition für diese Menge die richtigen Klassen ansprechen muss.
@AsafKaragila: Es ist nicht einmal eine Größenbeschränkung -- Satz ∩ Klasse = Satz so sieht einfach das Axiom der Trennung in NBG aus. Ich denke, der eigentliche Punkt hier ist, dass MK die Wahrheit nur für Formeln definieren kann, bei denen alle Quantifizierer auf Mengen beschränkt sind (dh die Sprache von ZFC), während MK die Wahrheit immer noch nicht für seine eigene vollständige Sprache definieren kann . Aus Sicht von MK ist ein Klassenmodell von ZFC also immer noch ein eingeschränkter Begriff, genauso wie es ein eingeschränkter Begriff ist, nur festgelegte Modelle innerhalb von ZFC zu betrachten.
@Henning: Das hängt von der Axiomatisierung ab. Und ja, Sie haben Recht, dass Kelley-Morse immer noch keine Wahrheitsdefinition für sein eigenes vollständiges Modell liefert.
Warum sollte die zugrunde liegende Menge eines Modells eine Menge sein?
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