Welche Formel von ZFC definiert die Menge der natürlichen Zahlen?

Lassen Z F C ' sei die Erweiterung von Z F C enthält das Konstantensymbol N , die wir für die Darstellung der natürlichen Zahlen nehmen. Um das zu sagen Z F C ' ist eine Definitionserweiterung von Z F C Wir müssen eine Formel finden ϕ in der Sprache von Z F C mit einer einzigen freien Variablen υ so dass Z F C ⊢ ∃ ! υ ϕ und für jede Formel ψ enthält N , Z F C ' ⊢ ψ iff Z F C ⊢ ∃ ! υ ( ϕ ∧ ψ ( N ↦ υ ) ) oder gleichwertig Z F C ⊢ ∀ υ ( ϕ ⟹ ψ ( N ↦ υ ) ) .

Da es jedoch keine rekursive Axiomatisierung von geben kann Th ( N ) - unter der Vorraussetzung, dass N ist wirklich die Menge der natürlichen Zahlen - es kann keine Formel geben ϕ einzigartig charakterisieren N (bis auf Isomorphie). Also entweder N ist nicht die Menge der natürlichen Zahlen, Z F C ' ist keine Erweiterung per Definition, oder Z F C ist inkonsistent.

Ich bin mit der Abstimmung zum Abschluss nicht einverstanden; das ist absolut eine mathematische Frage. Allerdings denke ich, dass es von einer ernsthaften Änderung der Präsentation profitieren würde (der Dialogaspekt ist unnötig und macht es nur schwieriger zu lesen, und der Titel deutet darauf hin, dass die Frage weniger mathematisch ist, als sie ist), also habe ich noch nicht positiv gestimmt .
Ich bin mir nicht sicher, wie Sie es in ZFC machen würden, aber bei jeder unendlichen Menge von Dedekind können Sie eine Teilmenge auswählen, die Peanos Axiome erfüllt. Die unendliche Menge in ZFC ist natürlich die, die vom Unendlichkeitsaxiom postuliert wird. IIRC ist das unendliche Set von Dedekind. N ist also eigentlich schon in ZFC eingebaut.
@DanChristensen Das Problem zeigt nicht, dass ein Modell von P A existiert, das zeigt es N speziell existiert und ist ein Modell von P A . Anders ausgedrückt, müssen wir definieren N in einer Weise, die es von beliebigen Modellen von trennt P A .
@R.Burton Warum PA zuerst bestellen? Ich weiß nicht, ob das hilft, und ich bin mir auch nicht sicher, wie Funktionen in ZFC funktionieren. IIUC gibt es subtile Unterschiede zwischen ihnen und den üblichen Funktionen in den meisten Mathematiklehrbüchern, aber wenn wir es zulassen ICH sei die unendliche Menge von Dedekind, die in AoI postuliert wird, und sei S : ICH → ICH sei die injektive Nachfolgefunktion on ICH und lass 0 ∈ ICH habe kein pre-image unter S In ICH , dann können wir definieren N als Teilmenge von ICH so dass: ∀ X : [ X ∈ N ⟺ X ∈ ICH ∧ ∀ j ⊂ ICH : [ 0 ∈ j ∧ ∀ z ∈ j : [ z ∈ j ⟹ S ( z ) ∈ j ] ⟹ X ∈ j ] ] .

Antworten (2)

Du schreibst:

Da es keine rekursive Axiomatisierung von geben kann T H ( N ) - unter der Vorraussetzung, dass N ist wirklich die Menge der natürlichen Zahlen - es kann keine Formel geben φ einzigartig charakterisieren N (bis auf Isomorphie).

Das ist falsch. Ganz allgemein gesagt, was wir sagen können, ist das Z F C (rekursiv axiomatisierbar) muss nicht alle Fragen klären können φ . Aber das hat nichts damit zu tun Z F C beweist, dass genau eine Sache befriedigend ist φ existiert oder das entsprechende Ding entsprechend N . Zum Beispiel, Z F C beweist auch "Es gibt genau einen Satz X welches ist ∅ iff C H hält und ist { ∅ } iff C H fehlschlägt", ohne die Frage zu klären, ob dieses eindeutige Objekt leer ist.

Es gibt verschiedene Sinne, in denen N ist "schwer festzumachen" und verschiedene andere Bedeutungen in denen N ist "einfach festzunageln"; Sie müssen sehr vorsichtig sein, welchen Sinn Sie verwenden, wenn Sie ein bestimmtes Theorem anwenden.

In diesem Fall sollte nicht φ einzigartig charakterisieren N ?
@R.Burton In gewisser Weise, aber ich vermute nicht den Sinn, den Sie im Sinn haben. Bei jedem Modell M von Z F C Es wird ein einzigartiges Objekt ausgewählt von M über φ , bezeichnet φ M , was wir uns vorstellen können als " M 's Version von" N . Darüber hinaus nehmen wir für den Moment, den wir haben werden, eine platonistische Perspektive ein φ v = N Wo v ist das "tatsächliche" mengentheoretische Universum (oder zumindest etwas nahe genug). Aber verschiedene Modelle von Z F C kann über das Verhalten ihrer nicht einverstanden sein φ -Versionen.
Und wenn ich keine platonische Perspektive einnehmen möchte?
@R.Burton Dann die Frage, ob eine Formel erfolgreich definiert N In Z F C ist ohne nähere Erläuterung vage. Dies ist jedoch für den fraglichen Punkt unwesentlich: Wir werden immer noch a haben φ welche Z F C beweist definiert eine eindeutige Struktur, die einer angemessenen Eigenschaft der "Unxiomatisierbarkeit" unterliegt, und das ist wirklich der einzige Weg N als solches erscheint hier.
Im Moment würde ich mich auf Folgendes konzentrieren: Macht es Sinn, dass Sie eine Formel haben können, die Z F C beweist, dass ein eindeutiges Objekt definiert wird, aber dass sich unterschiedlich verhaltende Objekte über verschiedene Modelle hinweg definiert Z F C ?
Nun, das kommt darauf an. Wenn ein "Modell" überhaupt etwas ist (im Gegensatz dazu, dass das Wort "Modell" bedeutungslos ist), dann ist es nach meinem Verständnis eine Formel von Z F C (oder eine andere Mengenlehre), da jede Menge X die wir "benennen" können, hat eine begleitende Formel φ ( X ) st Z F C ⊢ ∃ ! X φ ( X ) . Oder, in der Schreibweise von PM, X = ι X φ ( X ) . Ansonsten, X ist ein Ding, das keinen „Sinn“ hat, etwas, von dem man nicht wissen kann, dass es existiert, selbst wenn es existiert.
@R.Burton Ich habe keine Ahnung, was Ihr letzter Kommentar bedeutet, aber es klingt tatsächlich so, als würden Sie den Begriff "Modell" falsch verstehen. Siehe hier .

Ich werde argumentieren, dass beides falsch ist.

Zuerst die Aussage

Da es keine rekursive Axiomatisierung von geben kann T H ( N ) ... es kann keine Formel geben ϕ einzigartig charakterisieren N (bis auf Isomorphie)

Das ist subtil falsch. In der Sprache von kann es keine Formel erster Ordnung geben N wo alle Quantoren reichen N was ihn einzigartig charakterisiert N .

Aber es kann eine Formel in der Sprache der Mengenlehre geben, die eindeutig charakterisiert N . Lassen ψ ( v ) := ( ∃ e . e ∈ v ∧ ∀ j . ¬ ( j ∈ e ) ) ∧ ∀ e . e ∈ v → ∃ k . k ∈ v ∧ ∀ u . u ∈ k ⟺ ( u = e ∨ u ∈ e ) . Dann lass ϕ ( v ) := ψ ( v ) ∧ ∀ u . ψ ( u ) → ∀ X . X ∈ v → X ∈ u . Das Axiom der Unendlichkeit erlaubt uns den Beweis ∃ ! v . ϕ ( v ) . Das erlaubt uns zu definieren N als Definitionserweiterung.

Also ist B falsch. ZFC hat einen Begriff der "Menge natürlicher Zahlen" und kann definitionsgemäß erweitert werden, um eine solche Menge einzuschließen, wie oben gezeigt.

A liegt jedoch möglicherweise falsch, da A davon ausgeht, dass die Menge N , definiert in ZFC, hat nichts mit den "tatsächlichen natürlichen Zahlen" zu tun. Wenn ZFC widersprüchlich wäre, dann würde ZFC Aussagen wie „ 0 = 1 “ (passend interpretiert in N ). Auch wenn ZFC konsequent ist, woher wissen wir, dass alle Aussagen, die es beweist, bewiesen werden N stimmen eigentlich die tatsächlichen natürlichen Zahlen? Das wüssten wir alle Π 1 Aussagen, die es beweist N tatsächlich gelten, aber wir würden nicht unbedingt wissen, dass sich alle Aussagen erster Ordnung als ungefähr erwiesen haben N sind tatsächlich wahr.

Wenn wir konstruktive Logik anwenden und Prinzipien wie „alle Funktionen sind rekursiv“ akzeptieren, dann können wir tatsächlich zu konkreten Aussagen darüber kommen N die ZFC beweist (etwa "für jede allgemein-rekursive unäre Funktion F , entweder F ( 0 ) besteht bzw F ( 0 ) existiert nicht"), die aber eigentlich nicht auf die natürlichen Zahlen zutreffen.

Was ist „die Sprache der N ?"
@R.Burton Auf welche Sprache auch immer verwiesen wird, wenn diskutiert wird T H ( N ) - typischerweise die Sprache einschließlich 0 , S , + , Und ⋅ .
Ich ging davon aus, dass wir drinnen bleiben Z F C , So Th ( N ) würde aus dem Fragment von bestehen Z F C die Natur zu definieren. Jetzt, wo ich es genauer betrachte, nicht wahr? ψ Sagen Sie einfach, dass es eine induktive Menge gibt, im Gegensatz zu einer Definition N einzigartig?
@R.Burton Sie haben Recht, dass dies was ist ψ sagt. Aber ϕ ist das relevante Prädikat für eine Definitionserweiterung. Ich dachte nur, es würde zu viel Platz brauchen, um es direkt zu sagen ϕ ohne Angabe ψ Erste.
@R.Burton Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit "dem Fragment von ZFC, das die Naturtöne definiert" meinen. Welche formale Sprache meinen Sie hier?
⟨ ∈ ⟩ . So würden wir zum Beispiel konstruieren S durch ∀ X ∃ ! j ( ∀ z ( z ∈ j ) ⟹ ( ( z ∈ X ) ∨ ( z = X ) ) ) - dh S X = X ∪ { X } .
Sollen ϕ ( v ) := ψ ( v ) ∧ ∀ u . ψ ( u ) → ∀ X . X ∈ u → X ∈ v Sei ϕ ( v ) := ψ ( v ) ∧ ∀ u . ψ ( u ) → ∀ X . X ∈ v → X ∈ u stattdessen?
@R.Burton Guter Fang, ich werde das beheben.
Welche Formel von ZFC definiert die Menge der natürlichen Zahlen?
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