Endlich viele abzählbare Modelle implizieren Entscheidbarkeit

Vermuten$T$ist entscheidbar axiomatisierbare Theorie erster Ordnung und hat kein endliches Modell. Wir konzentrieren uns auf abzählbare Modelle. Wenn$T$hat nur ein abzählbares Modell (bis auf Isomorphie), was bedeutet$T$Ist$\aleph_0$-kategorial, was impliziert, dass es vollständig ist, also entscheidbar. Nun nehme an$\mathrm{Mod}_{\aleph_0}(T)$bis auf Isomorphie endlich ist, impliziert diese schwächere Bedingung auch Entscheidbarkeit.

Fahren Sie mit Induktion über die Anzahl der abzählbaren Modelle fort$m$. Wenn$m=1$, es ist bewiesen. Vermuten$T$unvollständig ist, dann gibt es einen Satz$\varphi$so dass$T\cup\varphi$Und$T\cup\lnot\varphi$beide konsistent sind, müssen sie streng weniger zählbare Modelle haben, also sind sie nach der Induktionshypothese entscheidbar, aber wie impliziert diese Tatsache die Entscheidbarkeit von$T$?