Nicht-Axiomatisierbarkeit und Ultraprodukte

Zu Beginn ist hier eine bedingte negative Antwort (wirklich jede kompakte richtige Erweiterung von$\mathsf{FOL}$kann den Ball ins Rollen bringen, aber das hier ist wirklich cool) :

Wenn wir die Fähigkeit hinzufügen, über Isomorphismen geordneter Körper in einem präzisen Sinne zu quantifizieren, erhalten wir eine kompakte Logik$\mathcal{L}(Q_\mathsf{Of})$; siehe Mekler/Shelah 1993 . Die Klasse$\mathfrak{K}$von starr geordneten Feldern ist$\mathcal{L}(Q_{\mathsf{Of}})$-definierbar, also seine Nicht-Elementarität (= nicht-$\mathsf{FOL}$-Definierbarkeit) kann aus reinen Kompaktheitsgründen nicht ausgeschlossen werden. Außerdem sind alle nichttrivialen Ultraprodukte vorbei$\omega$abzählbar gesättigt sind, also vorausgesetzt$\mathsf{CH}$jedes nichttriviale Ultraprodukt vorbei$\omega$des starren geordneten Feldes$\mathbb{Q}$muss nicht starr sein (abzählbar gesättigt und groß sein$\aleph_1$). Also bedingt an$\mathsf{CH}$Wir haben eine einfache negative Antwort auf Ihre Frage: die Nicht-Elementarität von$\mathfrak{K}$kann nicht allein durch Kompaktheit hergestellt werden, sondern kann durch Ultrakräfte hergestellt werden.

OK, jetzt denken wir darüber nach, loszuwerden$\mathsf{CH}$...

Eine unmittelbare Idee ist die Verwendung eines Absolutheitssatzes . Genauer gesagt der Satz

$(*)\quad$„Es gibt einen abzählbaren nichtstarren geordneten Körper, der isomorph zu ist$\mathbb{Q}$"

Ist$\Sigma^1_1$, und durch das obige Argument plus Lowenheim-Skolem nach unten wissen wir das$(*)$Folgt aus$\mathsf{CH}$. Mostowskis Absolutheit gibt uns dann$(*)$bedingungslos.

Aber dieser Ansatz hat einen ernsthaften Nachteil (neben dem offensichtlichen „aber warum eigentlich?“). Der Auftritt des abwärts gerichteten Löwenheim-Skolem sollte eigentlich sehr enttäuschend ausfallen. Der Satz von Lindstrom besagt, dass die Logik erster Ordnung in Bezug auf Kompaktheit und (eine sehr schwache Form von) nach unten gerichtetem Lowenheim-Skolem maximal ist. Folglich ist jede Tatsache der Nicht-Axiomatisierbarkeit in gewissem Sinne eine rein abstrakte Folge von Kompaktheit und nach unten gerichtetem Löwenheim-Skolem. Wenn wir also eine Situation schaffen wollen, in der Ultraprodukte ausreichen und Kompaktheit allein nicht ausreicht, sollten wir Lowenheim-Skolem vermeiden.

Sinnvoller erscheint es daher, den direkten Nachweis zu versuchen$\mathsf{ZFC}$Das$\mathbb{Q}$hat eine nicht starre ultrapower. Es gibt einen großen Satz, mit dem wir dies in einer Zeile tun können: Nicht-Steifigkeit wird von Ultrakräften nach oben beibehalten, also wenden Sie Keisler-Shelah auf ein gegebenes nicht-starres geordnetes Feld an$F\equiv \mathbb{Q}$. Selbst wenn es für uns in Ordnung ist, einen großen Satz wie KS ins Bild zu bringen, bleibt natürlich immer noch die Frage, wie wir einen solchen bekommen$F$an erster Stelle. Anders ausgedrückt, es ist ordentlich, dass der Satz

$(\dagger)\quad$"Jede unendliche Struktur hat eine nicht-starre Ultramacht"

kann nachgewiesen werden$\mathsf{ZFC}$durch Berufung auf die Eigenschaften der Logik erster Ordnung, aber das begrenzt die Befriedigung von$(\dagger)$für unsere Zwecke hier. Wir haben also plausibel eine bedingungslose Ultraprodukt-Only- Konstruktion , aber in Sachen Argumentation sind wir noch nicht sehr weit gekommen.

All dies wirft die folgende Anschlussfrage auf:

Kann$\mathsf{ZFC}$beweisen (ohne die Modelltheorie erster Ordnung ins Bild zu bringen), dass jede abzählbar unendliche Struktur in einer abzählbaren Sprache eine nicht-starre Ultramacht über hat$\omega$?

Peinlicherweise ist dies für mich nicht offensichtlich, selbst wenn wir die Klammern ignorieren (und tatsächlich hat Shelah eine Reihe von Artikeln über die Feinheiten von$\mathsf{ZFC}$-beweisbare Fakten über Ultramächte, wie die "Vive la difference"-Reihe )! Aber sicherlich habe ich einen dummen Moment und jemand wird darauf hinweisen, was ich in einem Kommentar unten vermisse ... (EDIT: Ich habe dies jetzt als separate Frage gestellt .)