Ein Modell, das nur ein undefinierbares Element über einer Sprache mit nur einer endlichen Anzahl von Symbolen hat

Ich versuche, das Problem 1.3.14 in der Modelltheorie von Chang und Keisler zu lösen:

Für jede$n\in\omega$, finde ein Modell$\mathfrak{A}_n$für$\mathcal{L}$eine Sprache mit nur einer endlichen Anzahl von Symbolen, die genau hat$n$undefinierbare Elemente.

Es ist einfach zu lösen, wann$n\neq 1$(Nehmen Sie einfach die Sprache, die nur ein Gleichheitszeichen und hat$n$-Element als Domäne gesetzt.) Wie in diesem Lehrbuch jedoch angemerkt, ist der Fall von$n=1$fällt mir extrem schwer. Alle meine Versuche sind fehlgeschlagen und ich weiß nicht, wie ich das Problem lösen soll.

Meine Frage ist also: Gibt es ein Modell, das nur ein undefinierbares Element über einer Sprache mit nur einer endlichen Anzahl von Symbolen hat ? Danke für jede Hilfe.

Diese Frage ist mit dieser Frage nicht doppelt vorhanden, da diese Frage nur das Sprachmodell mit endlich vielen Symbolen berücksichtigt. In dieser Frage betrachte ich das Gleichheitszeichen als logisches Symbol.