Warum vermeiden wir nicht den Ausdruck „wenn wir AC annehmen“ und nehmen ihn als selbstverständlich hin?

Die Frage „Warum sich Gedanken über das Axiom der Wahl machen“ (oder ähnliches) wurde oft gestellt (siehe hier , hier , hier , oder hier nur um anzufangen). Die Moral der Geschichte ist, dass es viele Stellen gibt, an denen wir daran interessiert sind, "Mengenlehre" zu betreiben, wo das Auswahlaxiom versagt (auch wenn Sie kein Mengentheoretiker sind! Zum Beispiel kümmern sich viele algebraische Geometer um die interne Mengenlehre zu einem Garbentopos , der AC häufig nicht genügt). Lee Moshers Analogie über Gruppen, die „das Kommutativeigentum annehmen“, ist sehr gut.

Was die Antwort auf Ihre anderen Fragen betrifft: Ja, viele algebraische Eigenschaften sind genau dann wahr , wenn das Auswahlaxiom zutrifft. Zum Beispiel ist es ohne AC konsistent

1. Es gibt einen Ring mit einem Ideal ungleich Null, das in keinem Maximalideal enthalten ist ( mehr dazu hier )
2. Es gibt Vektorräume ohne Basis ( mehr dazu hier )
3. Es gibt Vektorräume darüber$\mathbb{R}$ohne Norm ( mehr dazu hier )
4. Es gibt eine Sammlung kompakter Räume, deren Produkt nicht kompakt ist (siehe hier für mehr, wenn auch weniger als die anderen)
5. Keine nicht messbaren Teilmengen von$\mathbb{R}$existieren ( mehr dazu hier )

Ich hoffe das hilft ^_^

Einige der anderen Antworten enthielten Links zu den spezifischen Fragen, die Sie gestellt haben. Sowohl die spezifischen Aussagen als auch die historischen Gründe, warum wir dem Wahlaxiom einen anderen Stellenwert einräumen als etwa dem Extensionalitätsaxiom oder Potenzmengenaxiom.

Lassen Sie mich der Frage in Ihrem Titel eine bestimmte Antwort hinzufügen. Warum geben wir immer wieder die Verwendung des Auswahlaxioms an, wenn wir es für selbstverständlich halten? Nun, einfach. Wir halten es nicht für selbstverständlich. Ja, die überwiegende Mehrheit der heutigen Mathematiker, zumindest die, denen ich begegnet bin, neigt dazu, das Axiom der Wahl als gegeben zu betrachten , aber es wird nicht als selbstverständlich angesehen.

Aus dem gleichen Grund ist die Erforschung der Notwendigkeit des Auswahlaxioms und von Fragmenten davon immer noch ziemlich relevant. Das Axiom der Wahl ist schrecklich nicht-konstruktiv. Selbst wenn Sie das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten akzeptieren, das an sich nicht sehr konstruktiv ist, befindet sich das Axiom der Wahl immer noch auf einer anderen Ebene. Es sagt Ihnen wirklich nur, dass Dinge existieren, ohne Ihnen im geringsten zu sagen, wie diese Dinge "aussehen". Wie funktioniert eine Hamel-Basis von$\Bbb R$über$\Bbb Q$aussehen? Enthält es$\pi$?$e$?$\sqrt 2$? Die Antworten auf all diese Fragen sind ja und nein, in dem Sinne, dass es viele gibt, wenn es eines gibt, und es keinen Grund gibt, das eine dem anderen vorzuziehen.

Selbst wenn Sie also das Auswahlaxiom als gegeben ansehen, hindert es Sie immer noch daran, Ihre Objekte explizit zu spezifizieren. Wenn Sie in der Lage sein möchten, Ihre Objekte zu berechnen oder sie auf sehr explizite Weise darzustellen, können Sie dies nicht tun, wenn Sie sich auf das Axiom der Wahl verlassen. Die Angabe, dass Sie es verwenden, weist den Leser darauf hin, dass dies möglicherweise nicht möglich ist. und das Studium von Fragmenten des Auswahlaxioms lässt uns besser verstehen, welche Art von „Orakeln“ wir brauchen, um diese spezifische Berechnung durchzuführen.

Also ja. Wir erwähnen das Axiom trotzdem, weil es Auskunft darüber gibt, wie explizit wir mit unserem Verständnis unserer mathematischen Objekte werden können. Aber du hast recht. In manchen Kontexten, zB Topologie, kommen wir nicht wirklich weiter, ohne choice zu verwenden, also verwenden wir es einfach, ohne es überhaupt zu erwähnen. Mein Topologie-Professor hat uns irgendwann in Woche 7, als wir die Kompaktheit erreicht haben, gesagt, dass wir von diesem Punkt an das Axiom der Wahl annehmen müssen, und diejenigen, die nicht wollen, nichts mehr zu lernen haben; Er hatte recht. (Ich vermute jedoch, dass er sich der Fragmente nicht bewusst war, die wir verwendet haben, um etwas über metrische Räume zu lernen. Aber das ist nebensächlich.)

Lassen Sie mich das abschließend noch anmerken$\ell^2$, und tatsächlich jeder unendlich dimensionale Banach-Raum, wird beim Arbeiten keine Hamel-Basis haben$\sf ZF+DC+BP$, Wo$\sf BP$besagt "jeder Satz von Realzahlen hat die Baire-Eigenschaft", aber sie sind immer noch sehr nützliche Räume.

Angesichts des breiten Interesses an Modellen der Mengenlehre, bei denen AC versagt, erscheint es angemessener, die Hypothesen klar zu formulieren, die Sie für das Modell der Mengenlehre, in dem Sie arbeiten möchten, annehmen, insbesondere für einen Satz, der in bestimmten Modellen falsch ist Wechselstrom fällt aus.

Hätten Sie dagegen einen Satz der Gruppentheorie, der nur wahr wäre, „wenn wir das Kommutativgesetz annehmen“, würden Sie es angesichts des breiten Interesses an Gruppen, die die Kommutativhypothese nicht erfüllen, nicht wagen, diese Hypothese auszulassen.

Wie HallaSurvivor betonte, entspricht jede (die meisten?) dieser Aussagen dem Auswahlaxiom. Allerdings möchte ich darauf hinweisen, nur weil$\phi$ist nachweisbar aus$ZF + \neg AC$(oder im Einklang mit$ZF$) bedeutet das nicht$\phi$ist nachweisbar in$ZF$. In der Tat, da die Wahl unabhängig von ist$ZF$,$\phi$ist nicht nachweisbar$ZF$allein.

Wenn Sie also einfach "nicht berechtigt sind, AC zu verwenden", können Sie die Existenz von keinem von ihnen beweisen oder widerlegen

1. Ein Ideal, das in keinem maximalen Ideal in irgendeinem Ring enthalten ist

2. Ein linearer Raum ohne Basis

3. Ein linearer Raum, in dem keine Norm definiert werden kann

4. Ein nicht kompaktes Produkt kompakter topologischer Räume

5. Eine nicht messbare Teilmenge von R.