Menge der ersten Kategorie und mengentheoretische Annahme

In der Tat.

Wenn$X$ist eine Familie von Mengen erster Kategorie, so dass$\bigcup X$nicht von erster Kategorie ist, dann die geringste Kardinalität einer solchen Menge$X$heißt Additivitätszahl des Ideals der Mengen erster Kategorie (auch mageres Ideal genannt). Wenn wir stattdessen davon ausgehen$\bigcup X=\Bbb R$, dann die geringste Kardinalität eines solchen$X$heißt Überdeckungszahl des Ideals der Mengen erster Kategorie.

Ich schreibe die Additivitätszahl als$\mathrm{add}(\mathcal B)$und die Decknummer als$\mathrm{cov}(\mathcal B)$, Wo$\mathcal B$steht für das Ideal der Sets erster Kategorie. Dann sind diese beiden Kardinalitäten Kardinalmerkmale des Kontinuums , von dem bekannt ist, dass sie sich von beiden durchweg unterscheiden können$\aleph_1$Und$\mathfrak c$. Sie sind als Teil von Cichońs Diagramm bekannt .

Um dies mit Ihrer Frage zu verknüpfen,$A(\mathfrak c)$ist die Aussage, dass$\mathrm{add}(\mathcal B)=\mathfrak c$Und$B(\mathfrak c)$ist die Aussage, dass$\mathrm{cov}(\mathcal B)=\mathfrak c$. Seit$\Bbb R$selbst ist nicht der ersten Kategorie, wir haben$\mathrm{add}(\mathcal B)\leq \mathrm{cov}(\mathcal B)$, aber es ist auch konsequent, dass diese beiden Kardinäle unterschiedlich sind.

Das wohl elementarste Modell zur Trennung dieser Kardinalitäten ist die Methode des Forcens . Insbesondere, wenn wir mit einem Modell der Kontinuumshypothese beginnen$\aleph_1=\mathfrak c$, Und ...

• ... Wir fügen hinzu$\aleph_2$viele Cohen-Reale, dann hat dies den Effekt, dass es gemacht wird$\mathrm{add}(\mathcal B)=\aleph_1$Und$\mathrm{cov}(\mathcal B)=\aleph_2=\mathfrak c$.
• ... Wir fügen hinzu$\aleph_2$viele zufällige reelle Zahlen, dann sind beide Kardinalzahlen gleich$\aleph_1$, während$\mathfrak c=\aleph_2$.

Wie Sie in Ihrer Frage anmerken, sind in einem Modell von Martins Axiom beide Kardinäle gleich$\mathfrak c$. Diese Implikation funktioniert nicht in die andere Richtung, da man wieder Forcen verwenden könnte, um ein Modell zu erhalten, wo$\mathrm{add}(\mathcal B)=\mathfrak c$aber Martins Axiom versagt, zum Beispiel durch Hinzufügen von Hechler-Realen.