Braucht man ein zählbares transitives Modell von ZFC, um die Falschheit von CH und "Es gibt eine nichtkonstruierbare Realität" zu erzwingen?"?

In einer Antwort und einem Kommentar zu

Es wurde vorgeschlagen, dass man bei einem erzwingenden Argument mit einem ctm immer dasselbe Argument in eine Einstellung ohne ctms übersetzen könnte. Wenn dies der Fall ist, was ist dann von dem folgenden Argument von Paul Cohen in seinem Artikel „ The Discovery of Forcen “ (S. 1090-91) zu halten :

Es gab ein weiteres negatives Ergebnis, ebenso einfach, das unbemerkt blieb, bis mein Beweis abgeschlossen war. Dies besagt, dass man die Existenz eines unzähligen Standardmodells nicht beweisen kann, in dem AC gilt, und CH falsch ist (das bedeutet nicht, dass im Universum CH wahr ist, lediglich, dass man die Existenz eines solchen Modells nicht beweisen kann, selbst wenn man die Existenz von zulässt Standardmodelle oder sogar eines der höheren Axiome der Unendlichkeit). Der Beweis lautet wie folgt: Wenn M ist ein unzählbares Standardmodell, in dem AC hält, das ist leicht zu sehen M enthält alle zählbaren Ordnungszahlen. Geht man vom Konstruierbarkeitsaxiom aus, bedeutet dies, dass alle reellen Zahlen drin sind M und bebaubar M . Also gilt CH. Das habe ich erst gesehen, nachdem ich bei einer Vorlesung gefragt wurde, warum ich nur mit abzählbaren Modellen arbeite, woraufhin mir obiger Beweis einfiel.

Derselbe Beweis kann verwendet werden, um zu zeigen, dass man die Existenz eines unzähligen Standardmodells, in dem AC gilt, nicht beweisen kann, und dass es eine nicht konstruierbare Realität gibt.

Wenn man Modelle mit booleschen Werten oder einen booleschen Ultrapower-Ansatz verwenden würde, um Modelle zu "konstruieren", in denen CH falsch war oder eine nichtkonstruierbare Realität existierte, bedeutet dies, dass man nicht beweisen kann, dass die Modelle so konstruiert sind (vorausgesetzt, die Modelle waren so konstruiert). Standardmodelle) nicht abzählbar sind, auch wenn der Beweis mit diesen beiden Methoden die „Abzählbarkeit“ der Modelle nicht erwähnt?

Beachten Sie, dass Cohen einen Satz verwendet, der aus blinkenden roten Lichtern bestehen sollte: „man kann nicht beweisen“. Wir wissen, dass man tatsächlich alles beweisen kann, was wahr ist, indem man diese Tatsache einfach als Axiom annimmt ... Die eigentliche Frage ist also: Von welcher Theorie spricht Cohen, wenn er sagt "man kann nicht beweisen". Sobald das geklärt ist, machen diese Art von Kommentaren viel mehr Sinn. Mit anderen Worten, das Problem bei abzählbaren transitiven Modellen besteht darin, dass wir die zulässigen Beweismethoden speziell einschränken, und bei diesen begrenzten Methoden sollte es nicht überraschen, wenn wir stärkere Hypothesen benötigen.
@Carl: Da eine ausführlichere Version des Beweises (und Theorems) auf den Seiten 108-9 seines Buches "Set Theory and the Continuum Hypothesis" zu finden ist, werde ich das darin enthaltene Theorem wörtlich zitieren: "From ZF+SM [SM = "es gibt ein Standardmodell für ZF" - mein Kommentar] oder tatsächlich aus irgendeinem Axiomensystem, das ZF enthält, das mit V = L konsistent ist, kann man die Existenz eines unzähligen Standardmodells nicht beweisen, in dem AC wahr und CH falsch ist , noch nicht einmal eine, in der AC gilt und die nicht konstruierbare reelle Zahlen enthält. Dies sagt Ihnen, in welcher Theorie (oder Klasse von Theorien) er arbeitet.

Antworten (2)

Beachten Sie, dass Cohen speziell über Standardmodelle spricht . Die Hindernisse für die Verwendung dieser Methoden, um Cohens Behauptungen zu widersprechen, liegen nicht darin, die Unzählbarkeit der von Ihnen konstruierten Modelle zu demonstrieren, sondern vielmehr sicherzustellen, dass sie Standard sind .

  • Beachten Sie, dass Modelle mit booleschen Werten nicht Standard (oder isomorph zu einem Standardmodell) sein können, es sei denn, die zugrunde liegende boolesche Algebra ist die Zwei-Elemente-Algebra, und in diesem Fall macht es wenig Sinn, sie auch nur als separate Klasse von Modellen zu betrachten.

  • Die Ultrapower M U eines (Standard-)Modells M wird nicht begründet sein, es sei denn U Ist σ -vollständig. Die Existenz solcher Ultrafilter erfordert die Existenz einer messbaren Kardinalzahl, was selbst impliziert v ≠ L , und ist auch verdächtiger als die Existenz von Standardmodellen. Jedenfalls transzendierst du Z F C .

(Cohens Argument ist im Wesentlichen, dass, wenn man die Existenz eines solchen unzähligen Standardmodells in Z F C , dann würdest du auch so ein Modell rein bekommen Z F C + v = L . In dieser stärkeren Theorie entstehen die Probleme.)

Um Arthurs Antwort hinzuzufügen, dient die Verwendung von Modellen mit booleschen Werten nicht dazu, ein Objekt auf sinnvolle Weise zu konstruieren. Es ist eine Möglichkeit, die Notwendigkeit eines generischen Filers zu umgehen.

Der Sinn von booleschen Modellen ist, dass man zeigen kann, dass sie Inferenzregeln aus der Logik erster Ordnung erben und dass alle Axiome von Z F C haben den booleschen Wert von 1 und sind daher in einem sehr guten Sinne "wahr". Auf der anderen Seite Aussagen, deren Wert nicht ist 1 können konsequent falsch werden, wenn man einen generischen Ultrafilter nimmt, der ihre Negation enthält.

Daher haben wir, dass wir mit geeigneter boolescher Algebra beweisen können, dass die Aussage "Es gibt eine nicht konstruierbare Reelle" konsistent ist mit Z F C .

Cohen sagt, wie Arthur betont, dass man, wenn man mit Standardmodellen arbeitet, bereits alle zählbaren Ordinalzahlen und damit if einbeziehen muss, wenn man über unzählbare Modelle spricht v = L es wird sich entschieden haben C H .

Wenn wir die Konsistenz von beweisen wollen v ≠ L , dann wollen wir nicht davon ausgehen, dass das Universum das erfüllt. Und die Arbeit mit unzähligen Modellen ist für diese Art von Ergebnis unzureichend.

Braucht man ein zählbares transitives Modell von ZFC, um die Falschheit von CH und "Es gibt eine nichtkonstruierbare Realität" zu erzwingen?"?
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