Was sind die erforderlichen Kenntnisse in Logik, die erforderlich sind, um das Forcieren zu studieren?

Ich habe ungefähr den letzten Monat damit verbracht, die Kapitel 1-6 von Jechs Text zu lesen und die Übungen zu machen, aber ich habe ein Muster bemerkt, wie Teil I aufgebaut ist. So wie es aussieht, behandeln die ersten 6 Kapitel der 12 Kapitel von Teil I ziemlich grundlegende Mengenlehre, die jeder erste Kurs abdecken würde (ZF-Axiome, Ordinalzahlen, Kardinalzahlen, Auswahl, Regelmäßigkeit), und die zweiten 6 Kapitel scheinen es zu sein Anwendungen dieser Ideen auf andere Bereiche der Mathematik. Zum Beispiel ein Kapitel über Kombinatorik, ein Kapitel über reelle Analyse und Messung, ein Kapitel über Boolesche Algebra usw. Einiges davon passt nicht in dieses Muster, aber insgesamt scheint es, als ob die Kapitel 7-12 zum Erzwingen übersprungen werden könnten. Also mache ich weiter und fange mit Kapitel 13 an.

Sobald ich mich Kapitel 13 zuwende, verliere ich mich sehr schnell. Es sieht so aus, als ob dieser Teil des Textes viel logiklastiger ist als die anderen Teile. Ich habe ein gutes Verständnis von Aussagen- und Prädikatenlogik, aber keinen Hintergrund in Modelltheorie oder irgendetwas anderem. Also meine Frage lautet wie folgt:

Für diejenigen, die Jechs Text haben: Können die Kapitel 7-12 wirklich übersprungen werden, um mit dem Erzwingen zu beginnen? Und was ist der empfohlene logische Hintergrund, um mit dem Erzwingen zu beginnen? Sprich... Kapitel 13-15 in Jech.

Für diejenigen, die Jechs Text nicht haben, da ich diese Frage zugänglicher machen möchte: Vergessen Sie die Kapitelnummern und den spezifischen Text. Wie viel Logik sollte ich kennen und überprüfen, bevor ich mit dem Forcen beginne?

Die Kapitel 7-12 sind weit davon entfernt, „Anwendungen dieser Ideen auf andere Bereiche der Mathematik“ zu sein, sondern sind Einführungen in verschiedene sehr zentrale und wichtige Themen der Mengenlehre. Dieses Material ist für jeden unerlässlich, der sich einen guten Überblick über das Thema insgesamt verschaffen möchte. Sie finden diese Kapitel möglicherweise auch leichter zugänglich als spätere (wie z. B. Forcen) und sollten dazu dienen, Sie intuitiver (und tatsächlich direkter, insbesondere die Kapitel 7 und 12) darauf vorzubereiten. Mein Rat wäre also, einfach weiter linear durchzugehen. Wenn Sie wirklich Teile überspringen möchten, lesen Sie zuerst mindestens die Kapitel 7 und 12.
Zu Kapitel 13: Es ist wahrscheinlich auch pädagogisch besser, Kapitel 13 vor Kapitel 14 zu lesen, und es gibt einige direkte Abhängigkeiten, aber die Entwicklung der Haupttheorie des Erzwingens stützt sich nicht auf Kapitel 13.

Antworten (1)

Der schnellste Weg zum Erzwingen ist wahrscheinlich Nik Weavers Forcing for Mathematicians . Es bringt Sie von der Definition einer Ordnungszahl zur Unabhängigkeit von C H auf rund 50 Seiten.

Ich würde vorschlagen, einen anderen Text als Jech zum Erzwingen zu verwenden. Er verwendet boolesche Algebren, die heutzutage irgendwie veraltet sind (Jech selbst gibt sie ziemlich schnell auf), und seine Behandlung ist sehr knapp. Kunens Mengenlehre wäre eine bessere Einführung. Ich denke, das Vorwort (der Ausgabe von 2013) sagt Ihnen genau, welche Kapitel Sie lesen müssen, um das Kapitel über das Erzwingen zu verstehen.

Es gibt ein sehr neues (2021) Buch von Mirna Džamonja mit dem Titel Fast Track to Forcing , dessen Titel sehr relevant erscheint, aber ich habe es nicht gelesen und kann es daher nicht kommentieren.

Um Ihre Frage tatsächlich zu beantworten, können Sie die Kapitel 7-11 in Jech gerne überspringen (dies bezieht sich auf die 3. Auflage). Kapitel 12 ist jedoch Pflichtlektüre, da dort Absolutheit eingeführt wird.

Für Force-Anwendungen, die große Kardinalzahlen oder feinere Kombinatorik erfordern, müssen Sie möglicherweise zurückgehen und einige der Dinge lesen, die Sie übersprungen haben, aber ich denke, das Obige reicht aus, um die Grundlagen zu verstehen. Trotzdem möchte ich Sie noch einmal ermutigen, sich stattdessen Kunen anzusehen. Wenn Sie Jech lesen müssen, ist es vielleicht eine gute Idee, eine Kopie von Bells Set Theory: Boolean-Valued Models and Independence Proofs zu haben , da er viel mehr Details gibt als Jech.

Das sind wirklich hilfreiche Informationen. Ein paar Dinge. Könnten Sie zunächst ein wenig mehr erklären, was Sie mit Jechs Behandlung von erzwungener Knappheit meinen? Zweitens, denken Sie, dass seine Kapitel über große Kardinäle und Forcing, dh Kap. 16-21 sind gut geschrieben? Ich möchte mehr davon lesen. Ich hatte bisher keine Probleme mit Jech, und ich nehme an, der einzige Grund, warum ich dabei bleibe, ist, dass es schön ist, alles, was mit der Mengenlehre zu tun hat, in einem Text zu haben. Es ist ziemlich enzyklopädisch.
Ich würde Mirnas Buch nicht als Einführung in das Forcen für Leute empfehlen, die zunächst nicht genug über die Mengenlehre wissen. Es ist ein nettes Buch mit vielen Beispielen, aber ich weiß nicht, ob die Frage "Welche Logik brauche ich, bevor ich mich dem Erzwingen nähere" diejenige ist, die das Buch beantwortet.
Es stimmt nicht, dass boolesche Algebren (im Zusammenhang mit Forcen) „abgewertet“ (deprecated?) werden. Boolesche Algebren sind sehr wichtig, nützlich und werden häufig zum Erzwingen von Argumenten verwendet. In Bezug auf die Einführung des Forcens ist es nur eine etwas andere Art, es zu tun. Ich habe keine Ahnung, wie viele Menschen dazu neigen, die eine oder andere Methode zum Lernen zu verwenden / zu bevorzugen. Aber ich tendiere auch eher dazu, den Ansatz in Kunen zu verwenden, da er mir etwas konkreter erscheint.
@FarmerS Ja, ich war vielleicht zu hart mit meiner Formulierung (und danke, dass du den Tippfehler entdeckt hast!). Ich denke, der Poset-Ansatz ist für jemanden, der gerade erst anfängt, einfacher zu verstehen (mit allen enthaltenen Details).
@ Luna145 Alles, was ich mit "knapp" meine, ist, dass viele Details in den Argumenten fehlen, bis zu dem Punkt, dass jemand, der mit dem Material nicht vertraut ist, Schwierigkeiten haben könnte, die Lücken zu füllen. Ich stimme zu, dass Jech enzyklopädisch ist und einige der Kapitel großartige Einführungen in Themen der Mengenlehre sind. Ich glaube nur nicht, dass das Kapitel über Forcen in diese Kategorie fällt.
Ich weiß Ihre großartigen Antworten also wirklich zu schätzen, aber ich möchte Jechs Text verwenden und bin mir immer noch nicht sicher, ob meine Frage schon beantwortet wurde. Wie viel Logik sollte ich wissen, bevor ich in Jechs Text eintauche? Ich bemerke ein bisschen Modelltheorie, aber ich habe mich noch nicht damit befasst. Ich habe viele gute Antworten darauf erhalten, wie Jech forciert, und andere Ressourcen, aber dieser Teil davon wurde nicht besprochen.
@ Luna145 Sie müssen wissen: die Axiome von ZFC, wohlgeordnete Mengen, Ordinalzahlen, Kardinalzahlen, transfinite Induktion/Rekursion, Relativierung, Absolutheit, transitive Modelle, Boolesche Algebren und Vervollständigungen, Δ -Systeme endlicher Mengen. Sie müssen auch über konsistente/inkonsistente Theorien und die Bedeutung relativer Konsistenz Bescheid wissen. Das ist das absolute Minimum, um der Mathematik zumindest Zeile für Zeile zu folgen und zu verstehen, warum die Methode des Erzwingens dies zeigt Z F C + ¬ C H ist konsistent, wenn Z F C Ist. Um besser zu verstehen, was vor sich geht, ist es wahrscheinlich eine gute Idee ...
@ Luna145, um etwas über den Reflexionssatz, den Löwenheim-Skolem-Satz von Downards und den Mostowski-Kollaps-Isomorphismus zu wissen. Wichtig ist meines Erachtens auch die Kenntnis der Aussagen von Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz und Tarskis Satz von der Undefinierbarkeit der Wahrheit. Sie sind nicht notwendig, um die Theorie zu entwickeln, aber sie sind ein Zeichen am Straßenrand, das sagt: "Was Sie versuchen zu tun, kann nicht funktionieren". Sie sollten auch mit dem Arbeiten in einer Theorie im Vergleich zum Arbeiten in der Metatheorie vertraut sein.
Was sind die erforderlichen Kenntnisse in Logik, die erforderlich sind, um das Forcieren zu studieren?
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