Gibt es Modelle der Mengenlehre, bei denen jede reelle Zahl definierbar ist, aber nicht jede Menge definierbar ist?

Beginnen Sie mit einem punktweise definierbaren Modell$V=L$, z.B$L_\alpha$Wo$\alpha$ist die kleinste Ordinalzahl für die$L_\alpha\models\sf ZFC$.

Über dieses Modell Kraft mit$\operatorname{Add}(\omega_1,\omega_1)$. Nämlich hinzufügen$\omega_1$Teilmengen zu$\omega_1$mit abzählbaren Bedingungen. Lassen$x_\alpha$bezeichnen die$\alpha$te Teilmenge hinzugefügt.

Da wir keine neuen Realzahlen hinzugefügt haben und da das Grundmodell war$L_\alpha$, alle reellen Zahlen sind immer noch definierbar (wenn nicht durch ihre ursprüngliche Definition, dann durch Relativierung zu$L$). Allerdings keines der$x_\alpha$ist definierbar (ohne Parameter). Um zu sehen, warum, notieren Sie einfach das if$p\Vdash\varphi(\dot x_\alpha)$, dann gibt es einige$q\leq p$Und$\beta\neq\alpha$so dass$q\Vdash\varphi(\dot x_\beta)$.

Warum? Einfach nehmen$\beta$was nicht in der Unterstützung von ist$p$, lassen$q$sei die Erweiterung von$p$auf welche$q(\beta,\xi)=p(\alpha,\xi)$. Dann der Automorphismus des Forcierens,$\pi$, gegeben durch Umschalten der$\alpha$Und$\beta$Koordinaten erfüllt das$\pi q=q$, So$\pi q\Vdash\varphi(\pi\dot x_\alpha)$schreibt sich um als$q\Vdash\varphi(\dot x_\beta)$.