Über den Beweis, dass die Kontinuumshypothese unabhängig von ZFC ist

In der mathematischen Logik wurde uns das Konzept des Erzwingens unter Verwendung abzählbarer transitiver Modelle – ctm – von vorgestellt Z F C . Unter Verwendung von zwei verschiedenen Begriffen des Erzwingens konnten wir (aus der Existenz eines "grundlegenden" CTM) zwei unterschiedliche CTMs aufbauen, von denen einer die Kontinuumshypothese verifiziert ( C H ), und der andere verifiziert seine Negation.

Meine Frage ist folgende. Beweist das das C H ist unabhängig von Z F C ? Mir scheint, das einzige, was dies beweist, ist: "Wenn es eine Gemeinschaftsmarke von Z F C Dann C H ist unabhängig von Z F C ". Und, nun, wir können uns nicht beweisen Z F C dass es eine GM von gibt Z F C , denn das würde das bedeuten Z F C beweist seine eigene Konsequenz!

Was fehlt mir hier? Reicht es aus, die Existenz einer GM in einem anderen "Universum" zu versichern? Z F C ? Ist das überhaupt sinnvoll?

Vielen Dank im Voraus.

Eine Möglichkeit, die Ergebnisse der Unabhängigkeit anzuzeigen, besteht darin, dass sie Ihnen ein Computerprogramm geben, das jeden Beweis von CH oder Nicht-CH in einen Beweis von umwandelt 0 = 1 .

Antworten (2)

Ja, du hast recht. Es gibt jedoch zwei Möglichkeiten, dies zu umgehen.

  1. Wir können Modelle mit booleschen Werten verwenden. Das sind definierbare Klassen, und das können wir für eine Aussage zeigen φ , wenn es eine vollständige Boolesche Algebra gibt B so dass im booleschen Modell v B , der Wahrheitswert von φ ist nicht 1 B Dann φ ist nicht nachweisbar Z F C .

    Dann können wir solche finden B für die die Kontinuumshypothese nicht den Wert erreicht 1 B .

  2. Wir können argumentieren, dass jedes endliche Fragment von Z F C hat ein abzählbares transitives Modell. Wenn C H beweisbar war, dann war es aus einem endlichen Fragment von beweisbar Z F C . Fügen Sie diesem Fragment die Axiome hinzu, die zur Entwicklung der für den Beweis erforderlichen Grundlagen des Forcierens erforderlich sind, und diese Theorie ist eine endliche Teiltheorie, die ein abzählbares transitives Modell hat , über das wir erzwingen und zeigen können, dass die endliche Teiltheorie erhalten bleibt. Jedoch C H ist dort falsch. Also jedes endliche Fragment von Z F C ∪ { ¬ C H } ist also konsequent Z F C ∪ { ¬ C H } ist konsistent.

das ist eine sehr elegante Begründung. Ich bin nur neugierig (aber nicht skeptisch!), Wir können argumentieren, dass jedes endliche Fragment von ZFC ein zählbares transitives Modell hat ... wie würde man das argumentieren? vielleicht kannst du ein paar Referenzen nennen?
@sylvia Dies ist der Reflexionssatz und eine grundlegende Anwendung von Lowenheim-Skolem und dem Mostowski-Kollaps.

Wie Asaf betont, können wir immer noch die gewünschten relativen Konsistenzergebnisse erzielen, ohne ZFC zu „verlassen“. Aber ich denke, dass es erwähnenswert ist, dass es natürliche Erweiterungen von ZFC gibt, in denen die Existenz von ctms von ZFC beweisbar ist, und in denen wir daher forcierende Argumente so durchführen können, wie sie sind.

Eine natürliche Erweiterung ergibt sich aus dem Hinzufügen eines Zufriedenheitsprädikats zu ZFC S A T ( X , j ) mit den üblichen Tarkschen Klauseln für die Konnektoren und Quantoren. Zum Beispiel würden wir hinzufügen:

(&) S A T ( ϕ ∧ ψ , A ) ↔ S A T ( ϕ , A ) ∧ S A T ( ψ , A )

Wo A ist eine Zuweisungsfunktion.

Sobald wir haben S A T ( X , j ) in unserer Sprache ist es natürlich, das Ersetzungsschema auf Formeln zu erweitern, die es beinhalten. In der resultierenden Theorie können wir beweisen, dass es abgeschlossene und unbeschränkte gibt a so dass v a ist eine elementare Unterstruktur von v . Jede solche v a modelliert ZFC, und es ist dann einfach, unsere ctms zu erhalten, indem sie ein Skolem-Hull-Argument für einen von ihnen verwenden, gefolgt von dem Mostowski-Kollaps-Lemma.

Siehe auch diese eng verwandte Antwort von Andreas Blass.
Danke, Andrés. Die Antwort von Andreas hatte ich vergessen. Nur um das klarzustellen: Diese Art von Bewegung ist im Grunde Folklore und gibt es schon eine ganze Weile.
In diesem Sinne ist es vielleicht erwähnenswert, dass Feferman eine Konstante hinzugefügt hat U mit den Axiomen, dass U ist eine abzählbare transitive Menge, und alle Axiome von Z F C relativieren zu U . Überraschenderweise ist dies eine konservative Erweiterung von Z F C .
Es ist mir nicht ganz klar, dass es im selben Sinne ist, da ctms in Fefermans Theorie nicht beweisbar sind. Gibt es einen anderen Grund, warum das Arbeiten in dieser Theorie (zum Zweck des Erzwingens) etwas einfacher ist als die Strategien, die Sie in Ihrer Antwort skizzieren?
Es ist ein Meta-Theorem, von dem es ein abzählbares transitives Modell gibt Z F C . Aber U , ist nach allen Maßstäben ein abzählbares transitives Modell, und jedes Axiom von Z F C stimmt da. Dann können Sie generische Filter für Posets erstellen U , und beweisen Sie Axiom für Axiom, dass die Axiome von Z F C sind wahr in U [ G ] .
Danke Asaf! Das Problem, das ich im Sinn hatte, war so etwas wie die Behauptung von Hamkins, dass die Verwendung Ihres 2. „einen Großteil der Technik [des Erzwingens] unangemessen in die Metatheorie drängt“ (S. 422, The set-theoretic multiverse, 2012). Es scheint mir, dass die Verwendung von U in dieser Hinsicht nicht viel besser ist, aber vielleicht muss ich mehr darüber nachdenken.
Feferman schrieb einige Arbeiten über die Grundlagen der Kategorientheorie ohne große Kardinäle. Dies kann für den gleichen Zweck missbraucht werden, glaube ich.
Über den Beweis, dass die Kontinuumshypothese unabhängig von ZFC ist
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v