Konkrete Beispiele für Nicht-Standard-Modelle des ZFZFZF −−- _Infinity_ +++ /⧸\not _Infinity_

Da das bekannt ist Z F − Unendlichkeit + ¬ Infinity ist bi-interpretierbar mit P A , es scheint vernünftig (möglicherweise), darauf zu schließen P A hat Nicht-Standard-Modelle, Z F − Unendlichkeit + ¬ Infinity wird auch Nicht-Standard-Modelle haben, dh Modelle mit unendlichen Elementen (Mengen?). Ist es jemandem möglich, ein Beispiel für ein Nicht-Standard-Modell zu konstruieren? Z F − Unendlichkeit + ¬ Unendlichkeit ? Ich lese gerade Vitezslav Svejdars Artikel „Unendliche natürliche Zahlen: ein unerwünschtes Phänomen oder ein nützliches Konzept? Z F − Unendlichkeit + ¬ Unendlichkeit . Ein solches Analogon würde dem konstruierten Modell natürlich als endlich erscheinen, daher wäre es schön für jeden, der eine solche Konstruktion bereitstellt, zu zeigen, warum es so erscheinen sollte (ich vermute, dass die 'Nicht-Standard-Elemente' die gleichen Axiome erfüllen wie die 'Standardelemente' gibt es im Modell kein Kriterium, um sie zu unterscheiden). Es besteht auch die Möglichkeit, dass die Interpretation von P A als Z F − Unendlichkeit + ¬ Infinity wird keine Nicht-Standard-Modelle zulassen, also wäre ein Beweis dieser Tatsache auch eine akzeptable Antwort, wenn dies der Fall ist. Vielen Dank im Voraus für eventuelle Hilfestellungen,

Es gibt sicherlich nicht standardmäßige Modelle von endlichem ZF: Jedes nicht standardmäßige Modell von PA kann endliches ZF interpretieren (mit der binären Codierung), was zu einem ähnlich nicht standardmäßigen Modell von endlichem ZF führt (dessen Ordnungszahlen isomorph zum ursprünglichen nicht standardmäßigen Modell von PA sind). .
@HenningMakholm: Könnten Sie mir ein konkretes Beispiel für ein Nicht-Standard-Element des Nicht-Standard-Modells von Finite geben Z F ?
x @Thomas: Jedes Nicht-Standard-Element des ursprünglichen Nicht-Standard-PA-Modells erzeugt einen solchen Nicht-Standard-Satz. (Der Satz von Tennenbaum scheint stark einzuschränken, wie konkret man ein Nicht-Standard-Modell beschreiben kann, da die Interpretation der Binärcodierung definierbar umkehrbar ist).
@HenningMakholm: Hast du einen Hinweis auf Tennenbaums Theorem? Inwiefern schränkt es stark ein, wie konkret man ein Nicht-Standard-Modell beschreiben kann? Ich verstehe das relativ zu endlich Z F , v ω eine echte Klasse ist (und folglich alle unendlichen Unterklassen von v ω werden auch richtige Klassen sein), aber von außerhalb des Modells würde das Nicht-Standard-Element als "unendlich" erscheinen, genau wie im Nicht-Standard-Modell von P A ?
Der Satz von Tennenbaum besagt, dass ein Nicht-Standard-Modell von PA keine berechenbare Additions- oder Multiplikationsoperation haben kann. (Da Sie über Nicht-Standard-Modelle lesen, dachte ich, Sie wären darauf gestoßen).
Und ja, ein nicht standardmäßiges Element eines ZFfin-Modells muss in dem Sinne „unendlich“ sein, dass es auf einem unendlichen Abstieg sitzt ∈ -Kette (wobei das natürlich nur von außen zu sehen ist).
@HenningMakholm: Was bedeutet das Nicht-Standard-Modell von endlich Z F „sehen“, wenn es den unendlichen Abstieg „sieht“. ∈ -Kette? Auch in Bezug auf Tennenbaums Theorem – ich bin mit der Tatsache vertraut, wusste aber nicht, dass sein Beweis Tennenbaum zugeschrieben wurde.
@ThomasBenjamin Dasselbe, was ein Nicht-Standard-Modell von PA sieht: nichts. Aus seiner Perspektive ist jede absteigende Kette von Mengen nett und endlich.
Außerdem gibt es, genau wie bei PA, kein ausgezeichnetes Nicht-Standard-Modell: Daher geht das Schreiben von zB "dem Nicht-Standard-Modell" an der Sache vorbei. Genau wie bei PA gibt es viele nicht standardmäßige Modelle.

Antworten (1)

Ich behaupte, wenn Sie mit Nicht-Standard-PA-Modellen vertraut sind, sollten Sie mit Nicht-Standard-Modellen von ZF-Inf+ vertraut sein ¬ Inf (nennen Sie diese Theorie T).

Vermuten M ist ein Nicht-Standard-Modell von PA. Lassen C ∈ M nicht standardisiert sein - das heißt, M denkt C ist endlich (seit M hält alles für endlich), sondern äußerlich die Menge { D ∈ M : M ⊨ D < C } ist unendlich. Dann denken Sie an das Element A = 2 C + 1 − 1 - das heißt, das Element, dessen binäre Erweiterung eine Zeichenfolge von ist C -viele " 1 "s - und überlegen wir uns, was A in der Ackermann-Struktur darstellt A C k ( M ) Zugewiesen an M (d. h. das Modell von T, das aus gebaut wurde M über die übliche Ackermann-Codierung).

Denken Sie daran, dass im Grunde "Elemente" = " 1 s in der binären Erweiterung". Seit A Die binäre Erweiterung von hat (extern) unendlich viele 1 s, wir haben { B : A C k ( M ) ⊨ B ∈ A } ist (nach außen) unendlich. Auch hier gibt es keinen Unterschied zwischen diesem Phänomen und der üblichen Art und Weise, wie eine Theorie wie PA (die "denkt, dass jedes Element endlich ist") nicht standardmäßige Modelle hat.

Und beachten Sie, dass - genau wie N Und P A - das "Standardmodell" v ω von T ist ein Anfangssegment eines beliebigen Modells N von T . Und diese Tatsache "kommutiert mit der Ackermann-Interpretation": die "Standard"-Elemente von an M ⊨ P A sind genau die, die "Standard"-Elemente des zugehörigen Codes kodieren A C k ( M ) . Die Situation ist wirklich dieselbe; Es ist nur so, dass wir konditioniert sind, Modelle der Mengenlehre für komplizierter zu halten als Modelle der Arithmetik.

Und um Ihre Titelfrage zu beantworten, genau wie bei PA werden wir nach Tennenbaums Theorem keine "netten" Nicht-Standard-Modelle haben. Wir verwenden die andere Richtung der Ackermann-Codierung: da ZF-Inf das beweist N erfüllt PA, verbunden mit jedem Modell v von ZF-Inf haben wir ein Modell K C A ( v ) von PA. Beschränken Sie sich auf Modelle der stärkeren Theorie T=ZF-Inf+ ¬ Inf; Dann K C A ( v ) ist nichtstandard iff v war nicht genormt. Nichtstandardisierte Modelle von T werden genau so schwer zu beschreiben sein wie Nicht-Standard-PA-Modelle.

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