Terry Taos rechnerische Perspektive auf die Mengenlehre

Die einfachste Antwort ist, dass er bestimmte Objekte wie natürliche Zahlen und Funktionen über ihre abstrahierten Eigenschaften (in Programmiersprachen als Schnittstellen bezeichnet) verwendet, anstatt bestimmte Objekte mit diesen Eigenschaften (in Programmiersprachen als Implementierungen bezeichnet) festzulegen. Der Grund ist, dass wir uns in der Regel um die Schnittstellen kümmern und selten darum, wie genau sie implementiert sind.

Denken Sie daran, dass mathematische Objekte normalerweise nicht allein kommen, sondern als Mitglieder einer Struktur, und die Eigenschaften, die sie haben sollen, besser als Eigenschaften der Struktur als Ganzes verstanden werden. Das bedeutet auch, dass wir die Struktur frei ändern können, solange sie die gleichen Eigenschaften erfüllt.

Das typische Beispiel sind die natürlichen Zahlen. Fast immer kümmern wir uns nur um die Eigenschaften, die sie im Verhältnis zueinander haben, wie z$0 < 1 < 2 < 3 < \cdots$, und Induktion über die natürlichen Zahlen. Diese Eigenschaften müssen alle gelten, unabhängig davon, wie die Sammlung natürlicher Zahlen tatsächlich gebildet wird. ZFC hat viele Möglichkeiten, ein PA-Modell auszustellen, und tatsächlich unterschied sich Zermelos ursprüngliche Konstruktion eines dieser Modelle von der heute standardmäßigen von Neumann-Konstruktion. Der Grund, warum wir letzteres jetzt verwenden, ist einer der seltenen Fälle, in denen wir feststellen, dass es bequemer ist, wenn die natürlichen Zahlen eine transitive Menge sind, sodass sie von Neumann-Ordnungszahlen sind. Das hat technische Vorteile, weil wir das eingebaute Symbol verwenden können$\in$für die Ordnung nach Ordnungszahlen. Man kann sagen, dass wir die Struktur der natürlichen Zahlen mögen, um intern PA zu erfüllen und extern eine Unterstruktur der Struktur der Ordinalzahlen zu sein, daher gibt es einen besonderen Grund, die von Neumann-Konstruktion natürlicher Zahlen zu bevorzugen.

Ein weiteres typisches Beispiel sind die reellen Zahlen. Diesmal kümmern wir uns in der Praxis nie darum, wie sie konstruiert sind. Solange sie die Feldeigenschaften und das Vollständigkeitsaxiom zweiter Ordnung erfüllen, ist das gut genug. Man kann sagen, dass wir die Struktur der Realzahlen nur brauchen, um interne Eigenschaften zu erfüllen, und uns um externe Eigenschaften nicht kümmern. Ob man also die Cauchy-Folgen der Rationalen oder die Dedekind-Schnitte der Rationalen oder die Dezimalfolgen wählt, spielt überhaupt keine Rolle. Der einzige Punkt, an dem es darauf ankommt, ist, wann Sie die Struktur konstruieren möchten, um zu zeigen, dass es einige Instanzen gibt, die die gewünschten Eigenschaften erfüllen, während in einigen schwachen Systemen einige davon nicht konstruiert werden können. Danach verwenden wir reelle Zahlen nur noch über deren Schnittstelle.

Ähnlich für Funktionen. In ZFC können sie als spezielle Arten von Teilmengen des kartesischen Produkts der Domäne und Kodomäne codiert werden, aber in der Praxis kümmern wir uns nicht darum und wollen diese Einschränkung manchmal nicht, wenn wir uns beispielsweise mit Klassenfunktionen befassen. Sehen Sie, Sie denken an das Powerset-Symbol$\mathcal{P}$als Funktion, nicht wahr? Aber es kann kein Set in ZFC sein, es sei denn, Sie wollen einen Widerspruch. Gleiches gilt für die Kardinalitätskarte und im Allgemeinen für alle funktionsähnlichen Dinge, deren Domäne oder Kodomäne keine Menge ist. Man könnte in der streng stärkeren MK-Mengentheorie arbeiten, um dieses Problem zu vermeiden, aber der Punkt bleibt, dass es uns nicht wirklich interessiert, wie Funktionen implementiert werden, solange wir sie so verwenden können, wie wir es erwarten.

Um sicherzustellen, dass die mathematischen Strukturen, die man verwendet, in ZFC konstruiert werden können, muss man nur sicherstellen, dass es in ZFC entweder eine Menge gibt, die die gewünschte Schnittstelle erfüllt (z. B. für natürliche Zahlen und reelle Zahlen), oder dass es eine syntaktische Übersetzung von gibt seinen Beweis zu einem Beweis in ZFC (wie z. B. Beweise mit Klassenfunktionen, die oft, aber nicht immer systematisch in Beweise übersetzt werden können, die in ZFC funktionieren, indem man einfach die Verwendung dieser Funktionen durch Formeln ersetzt), oder dass man in einem arbeitet konservative Erweiterung von ZFC (z. B. Verwendung der vollen Abkürzungskraft).

Taos Hinweis auf die reine Mengenlehre spielt auf die Konstruktion der natürlichen Zahlen an, ausgehend von der leeren Menge. In von Neumanns Version davon definieren wir$0=\varnothing$,$1=\{\varnothing\}$,$2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$und allgemeiner$n+1=\{0,1,\ldots n\}$. Man kann in diesem Sinne vorgehen und die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen als bestimmte Arten von Mengen definieren. In diesem Bild sind Zahlen nicht „primitiv“, wie Tao sagt, oder kurz „Atome“. Dann der von Neumann-Rang$n$ist genau$n$, der von-Neumann-Rang einer unendlichen Menge rationaler Zahlen ist$\omega$(die am wenigsten unendliche Ordnungszahl) und der von Neumann-Rang einer reellen Zahl ist$\omega+1$.

Praktisch gesehen ist es in vielen Zweigen der Mathematik bequem, Zahlen als Atome zu betrachten und von dort aus weiterzugehen.

Zum Beispiel, um den Überbau (Universum) über dem Set zu bauen$\mathbb{R}$das merkt man jedem$x\in\mathbb{R}$ist ein Atom in dem Sinne, dass$x\cap\mathbb{R}=\varnothing$und darüber hinaus$x\cap V(\mathbb{R})=\varnothing$Wo$V(\mathbb{R})$ist das Universum vorbei$\mathbb{R}$.

Diese Sichtweise ist hilfreich beim Erstellen exotischer Erweiterungen$V(\mathbb{R})\subseteq {}^{\ast}V(\mathbb{R})$das Tao sehr mag; siehe zB diese .