Moderne Algebra und Mengenlehre: ZFC vs. NBG

Das mag eine etwas philosophische Frage sein und ist wahrscheinlich pingelig, aber es ist auch eine, die mich immer ein wenig beschäftigt hat:

Ist es nicht natürlicher, die NBG-Mengentheorie als Grundlage für die moderne Algebra im Gegensatz zur traditionellen ZFC zu betrachten? ZF kam mir mangels eines besseren Wortes immer irgendwie hacky vor, als ob es im Laufe der Jahre gepatcht und geflickt worden wäre; wie Windows Vista heute aussehen würde, wenn es noch verwendet würde. Es ist zweifellos eine extrem starke Theorie, aber der Punkt ist, dass ZF in modernen Anwendungen dazu neigt, etwas unzureichend zu sein und scheinbar immer eine Umgehung erfordert; also hacky. Andererseits befasst sich NBG direkt mit Klassen und ist gerade aus algebraischer Sicht, insbesondere aus Sicht der Verbands- und Ordnungstheorie, bis hin zur Klassenkörpertheorie praktisch zugänglicher. NBG ist einfach besser für den Job gerüstet.

Ich denke, eine einfachere Art, all dies zu sagen, ist, dass sich ZF mehr mit Objekten befasst, NBG jedoch darauf ausgelegt ist, die Beziehungen zwischen Objekten auszunutzen, was meiner Meinung nach nicht nur für die Mathematik, sondern auch für die Logik selbst von grundlegenderer Bedeutung ist. NBG wird auf natürliche Weise implementiert, um die Fähigkeiten des Vergleichs und der Deduktion zu zeigen, was argumentiert werden kann, um die Grundlage für das Konzept der Logik an und für sich zu bilden.

Bin ich verrückt oder hat sich schon mal jemand so gefühlt?

Sie sollten zu Linux und SEAR wechseln .
@k.stm: Wie ist das Linux? Wenn überhaupt, dann ist das DEC10.
Lol, ich benutze Linux, es war nur eine Analogie.
( oder vielleicht Ubuntu).“ Und vielleicht ist es nicht Ubuntu, sondern Debian oder Arch oder so.
@k.stm: Als jemand, der sich seit einiger Zeit mit Mengenlehre beschäftigt und eine Weile länger mit Linux und noch länger mit Windows arbeitet, ist der Vergleich schlecht. Der Vergleich sollte zwischen CPU-Architekturen und nicht zwischen Betriebssystemen erfolgen.
@k.stm Das ist ziemlich ironisch. Aber ich habe die Seite nur beschönigt, und es scheint im Grunde eine informelle NBG zu sein, die den Begriff der Beziehungen verwendet, anstatt formal richtige Klassen zu definieren
@AsafKaragila Ich vertraue dir diesbezüglich - ich kenne nicht viel Mengenlehre (was bedeutet, dass ich fast überhaupt keine kenne). Stimmst du dem Rest des Vergleichs zu oder kennst du vielleicht einen anderen informellen Vergleich von SEAR/ZFC oder der Struktur-/Materialmengentheorie, den du gut findest? Ich interessiere mich (oberflächlich) dafür.
@k.stm: Nicht ganz. Der Grund, warum ZFC „Windows“ ist oder dass „man ins Auto springt und losfährt“, liegt darin, dass viele Jahre lang daran gearbeitet wurde, Mathematikern genau das zu ermöglichen. Das war nicht immer so. Informell sind Struktur- und Materialsatztheorien zwei verschiedene Kostüme desselben Wolfs. Sie unterscheiden sich nur in der Herangehensweise, was primitiv ist und wie man Dinge sagt. Ich kann nicht viel mehr sagen, da ich nicht allzu viel über strukturelle Mengenlehre weiß. Ich weiß gerade genug, um zu sagen, dass ich es bevorzuge Z F C . :-)
Als Algebraist habe ich das Gefühl, dass dies nur ein Problem beim Schreiben von Grundlagen ist. Zu anderen Zeiten ist die Mengenlehre, die man verwendet, fast immer aus dem Weg.
@Asaf: Außerdem N B G ist selbstverständlich No Bloody Good! :-)

Antworten (1)

Viele Menschen haben sich so gefühlt.

Aus diesem Grund hört man Leute in der Algebra oft über Mengenlehre stöhnen oder mengentheoretische Probleme ignorieren (sie können normalerweise darauf hinweisen, wo diese Probleme auftreten und dass jemand da draußen weiß, wie man sie löst). Auch deshalb gibt es Menschen, die sich sehr für algebraische Mengenlehren begeistern wie E T C S , oder geben Sie Theorien wie S E A R Und H T T , was sich als bessere Grundlage für die Algebra erweisen kann oder auch nicht.

Aber abschalten Z F C Zu N B G schiebt das Problem nur "einen Schritt weiter". Sicher, jetzt haben Sie die Klasse aller Gruppen als tatsächliches Objekt. Aber was ist mit der Kategorie aller kleinen Kategorien? Das ist keine Klasse mehr, da nur Mengen Elemente anderer Klassen sein dürfen und kleine Kategorien nicht unbedingt Klassen sind.

Deshalb ist die Arbeit mit Universen hier einfacher. Sie ermöglichen es Ihnen, ohne Konsequenzen "eine Ebene nach oben" zu springen. Jedes Mal erweitern Sie einfach die Definition dessen, was es bedeutet, eine Menge zu sein, und schließen mehr Dinge als Mengen ein.

Ich verstehe Ihren Standpunkt, aber ich hatte den Eindruck, dass NBG mit einer solchen Diskussion umgehen könnte. Ist ein Universum keine Klasse?
Eigentlich, denke ich, da wir über die Kategorien aller Kategorien sprechen, würden wir einfach ein unprädikatives Verständnis zulassen, richtig?
Das Universum ist eine Klasse. Aber Klassen sind keine Objekte anderer Klassen. Eine Kategorie, deren Objekte kleine Kategorien sind, ist also eine Sammlung, deren Objekte selbst Klassen sind, und damit diese Sammlung "im Universum" ist, müssen Sie entweder 2-Klassen zulassen (also wieder erweitern) oder alle Kategorien, mit denen Sie gearbeitet haben waren eigentlich Sätze zu beginnen. Was NBG Ihnen gibt, ist die Fähigkeit, über richtige Klassen zu quantifizieren, was den Umgang mit kleinen Kategorien (und in sehr, sehr geringem Maße, um Aussagen über beliebige kleine Kategorien zu treffen) viel einfacher macht.
Alternativ könnten wir nicht einfach a priori eine formale Definition des "logischen Geltungsbereichs" einer Variablen in einer logischen Formel geben und Änderungen an einem bestimmten Gegenstand zulassen, wodurch jede logische Formel "bereichsabhängig" wird. Das heißt, wir könnten aufhören, bereichsunabhängige Variablen zu definieren, so dass, wenn wir uns für eine Verallgemeinerung entscheiden, ein paradoxes „Spillover“ von quantifizierten Variablen in gewisser Weise durch die Beschränkung auf den neuen Bereich ausgeblendet wird.
Das klingt der Typentheorie gefährlich nahe. :-)
Ich dachte, du würdest das verstehen ;)
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