Warum verwenden wir keine Konglomerate in der abstrakten Algebra? [geschlossen]

Es ist vollkommen vernünftig, die gesamte "Menge, Klasse, Konglomerat, ..."-Progression unter Verwendung des von ZFC gegebenen axiomatischen Systems zusammen mit dem Axiom zu modellieren, dass es eine richtige Klasse von streng unzugänglichen Kardinälen gibt. In diesem Rahmen ist eine "Menge" nur eine Menge von weniger Kardinalität als die erste unzugänglich, eine "Klasse" ist eine Menge kleiner als die zweite unzugänglich, ein "Konglomerat", die dritte unzugänglich und so weiter. In diesem Rahmen, der oft als Axiomensystem der „Grothendieck-Universen“ bezeichnet wird, ist klar, dass es eine „Homogenität“ gibt, die ernsthafte Unterschiede zwischen Ergebnissen über klassengroße und konglomeratgroße algebraische Objekte ausschließt, da dies letztendlich alle sind nur wirklich große unzählige Mengen. Während andere Axiomensysteme wie NBG einen Unterschied zwischen Mengen und Klassen zulassen, müssen Sie ein Axiomensystem angeben, um etwas Genaueres zu erhalten. Auf jeden Fall sollte die Formalisierung des Grothendieck-Universums als starke Heuristik dienen, dass es keine Chance gibt, auf diesem Weg etwas Interessantes zu finden.

Angenommen, wir arbeiten an einer geeigneten Theorie, die in der Lage ist, mit Konglomeraten umzugehen (auch „Hyperklassen“ oder „ $2$-Klassen" in anderen Quellen) auf vernünftige Weise, dann ja , es gibt tatsächlich konglomeratgroße "Ringe" (ich werde die Größenhypothese aus der Definition eines Rings der Einfachheit halber für die Zukunft streichen).

Daran ist nichts Mysteriöses; zum Beispiel können wir den konglomeratgroßen Polynomring $\mathbb{Z}[\mathfrak{X}]$gegeben ein Konglomerat $\mathfrak{X}$von (Dingen, die wir als) unbestimmt auffassen. Tatsächlich passiert meistens nichts sehr Überraschendes, wenn wir „ultragroße“ Strukturen betrachten (obwohl es gelegentliche Ausnahmen gibt). Auf den ersten Blick kenne ich keine besonders interessante Eigenschaft, die für Ringe in Klassengröße, aber nicht für Ringe in Konglomeratgröße gilt.