Sind in der Kategorie der Lie-Algebren Mono-/Epimorphismen genau die injektiven/surjektiven Morphismen?

Die andere Antwort befasst sich mit Monomorphismen, also schauen wir uns Epimorphismen an. Wie in den Kommentaren erwähnt, gibt es einen (1970?) Vorabdruck von G. Bergmans Epimorphisms of Lie Algebras , der online verfügbar ist und diese Frage behandelt. Außerdem finden wir in den Anmerkungen am Ende dieses Vorabdrucks einen Verweis auf Reid, GA: Epimorphisms and Surjectivity. Inventiones mathematicae, Band 9 (1969), S. 295–307, auch online verfügbar , das eine Überschneidung mit Bergmans Vorabdruck aufweist.

Die für Ihre Frage zu Epimorphismen relevanten Highlights sind wie folgt. Beachten Sie zunächst, dass wir wlog auf die Frage reduzieren können, nach welchen Unteralgebren$\mathfrak h \subseteq \mathfrak g$, ist die natürliche Inklusion ein Epimorphismus.

1. Wenn$K$ein beliebiges Feld ist, dann in der Kategorie von allen $K$-Lie Algebren, unbedingt$\mathfrak h =\mathfrak g$, dh Epimorphismen sind surjektiv (Reid Prop. 4; Bergman Thm 2.1). Jeder Beweis geht durch die universelle Hüllalgebra und verwendet den Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt; Bergman macht es von dort aus mit bestimmten schönen ringtheoretischen Charakterisierungen von Epimorphismen (dazu vgl. Antworten auf MO/120918 ), während Reid das schöne Kriterium der Inklusion verwendet$\mathfrak h \subset \mathfrak g$ist genau dann ein Epimorphismus, wenn für alle$\mathfrak g$-Modul$V$, jedes Element$v \in V$das wird vernichtet durch$\mathfrak h$wird von allen vernichtet$\mathfrak g$. Und für$\mathfrak h \subsetneq \mathfrak g$, konstruiert er (über die universelle Hüllalgebra und PBW) ein Modul$V$wo das nicht der Fall ist.

2. Wenn$char(K)=0$, dann in der Kategorie der endlichdimensionalen $K$-Lügenalgebren, es gibt Epimorphismen, die nicht surjektiv sind. (Bergman Beispiel 4.1, Reid Prop. 7). Tatsächlich zeigt Bergman in Analogie zum obigen Kriterium (Korollar 3.2), dass die Inklusion$\mathfrak h \subseteq \mathfrak g$ist ein Epimorphismus in dieser Kategorie genau dann, wenn für jede endliche Dimension $\mathfrak g$-Modul$V$, jedes Element$v \in V$das wird vernichtet durch$\mathfrak h$wird von allen vernichtet$\mathfrak g$; und dann gibt es offensichtliche Beispiele für solche richtigen Einschlüsse. Nämlich, wie beide Quellen anmerken, wenn$\mathfrak g$ist halbeinfach gespalten (wie$\mathfrak{sl}_n(K)$, oder jede halbeinfache Lie-Algebra, wenn$K=\mathbb C$), dann die Einbeziehung jeder Borel-Subalgebra (und damit jeder parabolischen Subalgebra)$\mathfrak h \subset \mathfrak g$ist ein Epimorphismus. In der Tat, dass Bergmans Beispiel die Aufnahme des Standard-Borel ist

   $$\{\pmatrix{\alpha & \beta \\0&-\alpha}:\alpha, \beta \in K\} \hookrightarrow \mathfrak{sl}_2(K)$$ das genannte Kriterium für endlichdimensional erfüllt$\mathfrak{sl}_2(K)$-Darstellungen, folgt unmittelbar aus den Grundlagen der Darstellungstheorie$\mathfrak{sl}_2$in jeder lohnenden Ressource zu Lie-Algebra-Darstellungen behandelt.

3. Bergman weist auf verschiedene Beispiele für nicht-surjektive Epimorphismen in der Kategorie der endlichdimensionalen Lie-Algebren über einem Merkmal hin$0$Feld, das nicht sofort durch parabolische Subalgebren wie oben gegeben ist, merkt aber an, dass es immer noch eine Chance geben könnte, sie zu klassifizieren, mit den parabolischen als Eckpfeiler (siehe S. 13/14 und "Addenda" am Ende von Bergmans Vorabdruck) . Entsprechend beweist Reid (Prop. 10), dass in der Kategorie der reellen kompakten (fin.-dim.) Lie-Algebren Epimorphismen surjektiv sind. (Beachten Sie, dass echte kompakte Lie-Algebren grundsätzlich keine echten parabolischen Unteralgebren haben.)

4. Bergman hat weitere interessante Ergebnisse in positiver Charakteristik, die für einmal besser erzogen als Charakteristik zu sein scheint$0$. -- Reid hingegen hat das merkmalsfreie Ergebnis (Prop. 5/6), das in die Kategorie der endlichdimensionalen nilpotenten Lie -Algebren übergeht$K$sowie in die Kategorie der endlichdimensional lösbaren Lie-Algebren über$K$, Epimorphismen sind surjektiv.

Das war also vor 50 Jahren Stand der Technik. Ich wäre nicht überrascht, aber erfreut, von neueren Ergebnissen zu hören, insbesondere in Bezug auf Nr. 3.

Monomorphismen sind injektiv. Die Lie-Algebra-Kategorie über einem Feld$F$hat einen vergesslichen Funktor