Es gibt keinen natürlichen Isomorphismus zwischen Torsionsfunktor und Identität

Lassen$\mathcal{C}$sei die vollständige Unterkategorie von$\textbf{Ab}$deren Objekte endlich erzeugte abelsche Gruppen sind. Lassen$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}$sei der sendende Funktor$A\in\mathcal{C}$Zu$A_{\text{tor}}\oplus A/A_{\text{tor}}$. Ich möchte zeigen, dass es keinen natürlichen Isomorphismus gibt$F\rightarrow\text{id}_{\mathcal{C}}$.

Nehmen wir aus Gründen des Widerspruchs an, dass es einen natürlichen Isomorphismus gibt$u:F\rightarrow\text{id}_\mathcal{C}$. For each $A\in\textbf{Ab}$, let $v(A):=\iota_{A,2}\circ\pi_A$ where $\pi_A:A\rightarrow A/A_{\text{tor}}$ is the canonical surjection and $\iota_{A,2}:A/A_{\text{tor}}\rightarrow A_{\text{tor}}\oplus A/A_{\text{tor}}$ist die kanonische Injektion. Deutlich$v:\text{id}_{\mathcal{C}}\rightarrow F$ist eine natürliche Verwandlung. So haben wir$u\circ v:\text{id}_{\mathcal{C}}\rightarrow\text{id}_{\mathcal{C}}$und so existiert$n\in\mathbb{Z}$so dass

$$u(A)\circ v(A)=n\cdot\text{id}_A$$ for all $A\in\mathcal{C}$. In fact $n=u(\mathbb{Z})(v(\mathbb{Z})(1))=u(\mathbb{Z})(0,\pi_{\mathbb{Z}}(1))$.

Um einen Widerspruch zu erhalten, reicht es aus, dies unbedingt zu zeigen$n=\pm1$. Wie kann man das beweisen?

Bearbeiten: Beachten Sie das$A_{\text{tor}}$ist die Torsionsuntergruppe der abelschen Gruppe$A$.