Das zentrale Produkt zweier zyklischer Untergruppen der Primzahlordnung für ein ppp ist isomorph zum direkten Produkt zweier zyklischer Gruppen der Primzahlordnung

Question

Das zentrale Produkt zweier zyklischer Untergruppen der Primzahlordnung für ein ppp ist isomorph zum direkten Produkt zweier zyklischer Gruppen der Primzahlordnung

Mathematik
Gruppentheorie
endliche Gruppen
Zahlentheorie
abelsche Gruppen
abstrakte Algebra

StefanH

Für zwei Gruppen $G_1, G_2$ und zwei zentrale Untergruppen $U_1 \le Z(G_1), U_2 \le Z(G_2)$ die nach einigen gegebenen isomorph sind $\mu : U_1 \to U_2$ das zentrale Produkt ist die Gruppe

(G_{1} \times G_{2}) / D

$(G_1 \times G_2) / D$ mit

D = {(u_{1}, μ (u_{1})^{- 1}) : u_{1} \in U_{1}}

$D = \{ (u_1, \mu(u_1)^{-1}) : u_1 \in U_1 \}$ , dh wir identifizieren

U_{1}

$U_1$ Und

U_{2}

$U_2$ im direkten Produkt. Offensichtlich ist für abelsche Gruppen jede Untergruppe zentral. Meine Frage betrifft nun also dieses Produkt und zyklische Gruppen.

Lassen $G_i = \langle g_i \rangle$ ( $i = 1,2$ ) zyklische Ordnungsgruppen sein $p^{a_i}$ mit $a_1 \ge a_2 > n$ . Satz

U_{ich} = ⟨ G_{ich}^{P^{A_{ich} - N}} ⟩

$U_i = \langle g_i^{p^{a_i - n}} \rangle$ die Untergruppe der Ordnung

p^{n}

$p^n$ von

G_{i}

$G_i$ . Lassen

μ

$\mu$ sei der Isomorphismus von

U_{1}

$U_1$ auf zu

U_{2}

$U_2$ mit

μ (G_{1}^{P^{A_{1} - N}}) = G_{2}^{P^{A_{2} - N}} .

$\mu( g_1^{p^{a_1 - n}} ) = g_2^{p^{a_2 - n}}.$

Dann ist das zentrale Produkt von $G_1$ Und $G_2$ mit $U_1$ Und $U_2$ identifiziert von $\mu$ ist isomorph zum direkten Produkt zyklischer Ordnungsgruppen $p^{a_1}$ Und $p^{a_2 - n}$ .

Ich habe einige Argumente, aber ich finde sie nicht befriedigend. Aber ich poste, was ich getan habe.

Mein Ansatz: Ich habe die Notation gewechselt und geschrieben $\mathbb Z_n$ für die zyklische Ordnungsgruppe $n$ , und bezeichne sie additiv mit Elementen $\mathbb Z_n = \{0,1,\ldots, n-1\}$ . Dann für $G_1 = \mathbb Z_{p^{a_1}}$ Und $G_2 = \mathbb Z_{p^{a_2}}$ wir haben

U_{1} = {0, P^{A_{1} - N}, 2 \cdot P^{A_{1} - N}, 3 \cdot P^{A_{1} - N}, \dots, (P^{N} - 1) \cdot P^{A_{1} - N}} ≅ Z_{P^{N}}

$U_1 = \{ 0, p^{a_1 - n}, 2\cdot p^{a_1 - n}, 3\cdot p^{a_1 - n}, \ldots, (p^n -1) \cdot p^{a_1 - n} \} \cong \mathbb Z_{p^n}$ und ähnliches für

U_{2}

$U_2$ . Jetzt haben wir

D = {(k \cdot P^{A_{1} - N}, k \cdot P^{A_{2} - N}) : k = 0, 1, \dots, N - 1}

$D = \{ (k \cdot p^{a_1 - n}, k \cdot p^{a_2 - n}) : k = 0,1,\ldots, n-1 \}$ und eine Nebenklasse hat die Form

(X, j) + D = {(X + k \cdot P^{A_{1} - N}, j + k \cdot P^{A_{2} - N}) : k = 0, 1, \dots, N - 1} .

$(x,y) + D = \{ (x + k \cdot p^{a_1 - n}, y + k \cdot p^{a_2 - n}) : k = 0,1,\ldots, n - 1 \}.$ Dann haben wir

p^{a_{1}} \cdot p^{a_{2} - n}

$p^{a_1} \cdot p^{a_2 - n}$ verschiedene Nebenklassen, die sind

\begin{array}{cccc} (0, 0) + D & (1, 0) + D & \dots & (P^{A_{2}} - 1, 0) + D \\ (0, 1) + D & (1, 1) + D & \dots & (P^{A_{2}} - 1, 1) + D \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ (0, P^{A_{2} - N} - 1) + D & (1, P^{A_{2} - N} - 1) + D & \dots & (P^{A_{2}} - 1, P^{A_{2} - N} - 1) \end{array}

$\begin{array}{cccc} (0,0) + D & (1,0) + D & \ldots & (p^{a_2} - 1, 0) + D \\ (0,1) + D & (1,1) + D & \ldots & (p^{a_2} - 1, 1) + D \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ (0,p^{a_2 - n} - 1) + D & (1, p^{a_2 - n}-1) + D & \ldots & (p^{a_2} - 1, p^{a_2 - n} - 1) \end{array}$ Zuerst jeden

(x, y)

$(x,y)$ in mindestens einem der oben aufgelisteten Nebensätze enthalten ist, zum Schreiben

y = k \cdot p^{a_{2} - n} + r

$y = k \cdot p^{a_2-n} + r$ mit

0 \leq r < p^{a_{2} - n}

$0 \le r < p^{a_2-n}$ , Dann

(x, y) + D = (x - k \cdot p^{a_{1}}, r) + D

$(x,y) + D = (x - k\cdot p^{a_1}, r) + D$ mit

x - k \cdot p^{a_{1}} \in Z_{p^{a_{1}}}

$x - k\cdot p^{a_1} \in \mathbb Z_{p^{a_1}}$ . Auch alle aufgeführten Nebenklassen sind unterschiedlich, z

(x, r) + D, (\hat{x}, \hat{r}) + D

$(x, r) + D, (\hat x, \hat r) + D$ sind zwei mit

0 \leq x, \hat{x} < p^{a_{2}}

$0 \le x,\hat x < p^{a_2}$ Und

0 \leq r, \hat{r} < p^{a_{1} - n}

$0 \le r,\hat r < p^{a_1 - n}$ Und

r > \hat{r}

$r > \hat r$ , Dann

(X, R) - (\hat{X}, \hat{R}) = (X - \hat{X}, R - \hat{R})

$(x,r) - (\hat x, \hat r) = (x - \hat x, r - \hat r)$ Und

0 < r - \hat{r} < p^{a_{2} - n}

$0 < r - \hat r < p^{a_2 - n}$ und daher

r - \hat{r}

$r - \hat r$ ist nicht teilbar durch

p^{a_{2} - n}

$p^{a_2 - n}$ , was das zeigt

(x - \hat{x}, r - \hat{r}) \notin D

$(x - \hat x, r - \hat r) \notin D$ . Da die Addition komponentenweise auf den Nebenklassen erfolgt, können wir "sehen", dass sie eine zu isomorphe Gruppe bilden

Z_{p^{a_{1}}} \times Z_{p^{a_{2} - n}}

$\mathbb Z_{p^{a_1}} \times \mathbb Z_{p^{a_2 - n}}$ .

Das ist das Beste, was ich aufschreiben kann, aber ich bin nicht glücklich damit. Ich denke, es ist zu viel Berechnung und "chaotisch". Auch einfach durch "Sehen", dass sie isomorph sind, scheint ein bisschen wie ein "handwinkendes" Argument zu sein. Hat also vielleicht jemand eine elegante und solidere Lösung? Ich habe keine anderen Ideen?

Antworten (1)

Das zentrale Produkt zweier zyklischer Untergruppen der Primzahlordnung für ein ppp ist isomorph zum direkten Produkt zweier zyklischer Gruppen der Primzahlordnung

Ofir · Answer 1

Sie können versuchen, es mit Generatoren und Relationen zu lösen. Ihre Gruppe ist im Grunde

< X, j ∣ X^{P^{A}} = j^{P^{B}} = 1, X^{P^{A - N}} = j^{P^{B - N}}, [X, j] = 1 > .

$<x,y \mid \; x^{p^a}=y^{p^b}=1,\; x^{p^{a-n}}=y^{p^{b-n}}, [x,y]=1>.$ Aus Ihrer Wahl von

U_{1}, U_{2}

$U_1,U_2$ das verstehst du eigentlich

y^{p^{b}} = (y^{p^{b - n}})^{p^{n}} = (x^{p^{a - n}})^{p^{n}} = x^{p^{a}}

$y^{p^b}=(y^{p^{b-n}})^{p^n}=(x^{p^{a-n}})^{p^n}=x^{p^a}$ , damit wir die Beziehung entfernen können

x^{p^{a}} = y^{p^{b}}

$x^{p^a}=y^{p^b}$ ohne die Gruppe zu wechseln.

Vermute mal das $a\geq b$ und wir betrachten nur die Relationen

< X, j ∣ X^{P^{A}} = 1, X^{P^{A - N}} = j^{P^{B - N}}, [X, j] = 1 > .

$<x,y \mid \; x^{p^a}=1,\; x^{p^{a-n}}=y^{p^{b-n}}, [x,y]=1>.$ Der Trick besteht nun darin, die Basis Ihrer Gruppen zu ändern.

1 = X^{P^{A - N}} j^{- P^{B - N}} = (X^{P^{A - B}})^{P^{B - N}} j^{- P^{B - N}} = (X^{P^{A - B}} j^{- 1})^{P^{B - N}}

$1=x^{p^{a-n}}y^{-p^{b-n}}=(x^{p^{a-b}})^{p^{b-n}}y^{-p^{b-n}}=(x^{p^{a-b}}y^{-1})^{p^{b-n}}$ Einstellung

z = x^{p^{a - b}} y^{- 1}

$z=x^{p^{a-b}}y^{-1}$ wir bekommen, dass die Gruppe tatsächlich ist

< X, z ∣ X^{P^{A}} = 1, z^{P^{B - N}} = 1, [X, z] = 1 >≅ C_{P^{A}} \times C_{P^{B - N}} .

$<x,z \mid \; x^{p^a}=1,\; z^{p^{b-n}}=1, [x,z]=1>\cong C_{p^a}\times C_{p^{b-n}}.$

Wie siehst du das $x, z$ Gruppe erstellen? In der ursprünglichen Gruppe hat jedes Element die Form $x^n y^m$ mit $0 \le n < p^a, 0 \le m < p^b$ , aber wie schreibt man das als Produkt von $z$ Und $x$ ?
Okay, ich verstehe, notieren Sie das einfach $y = z^{-1} x^{p^{a-b}}$ und so erzeugt es dieselbe Gruppe. Ich mag Ihre Lösung, aber Generatoren und Relationen erscheinen einige Kapitel später in dem Buch, aus dem diese Übung stammt. Wenn also jemand eine alternative Lösung hat, würde mich das interessieren.
@Stefan Ich denke, dass Generatoren und Beziehungen der einfachste Weg sind, diese Lösung zu präsentieren. Die Hauptidee hier war, eine neue "Basis" für die Gruppe zu wählen und die Beziehungen zu nutzen, um die richtige Basis für die Auswahl herauszufinden.

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StefanH

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Ofir

StefanH

StefanH

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