Frage zu endlich erzeugten abelschen Gruppen: A/H≅GA/H≅GA/H \cong G

Wir haben die endlich erzeugte abelsche Gruppe

G := ⟨ X 1 , X 2 , X 3 : X 1 + X 2 + 4 X 3 = X 1 + 4 X 2 + X 3 = 4 X 1 + X 2 + X 3 = 0 G ⟩ .
Lassen A := ⟨ F 1 , F 2 , F 3 ⟩ sei eine freie abelsche Gruppe mit Rang 3 . Wenn H := ⟨ F 1 + F 2 + 4 F 3 , F 1 + 4 F 2 + F 3 , 4 F 1 + F 2 + F 3 ⟩ , das wollen wir zeigen
A / H ≅ G .
Wir definieren die Funktion ϕ : A ⟶ G ,   A = k 1 F 1 + k 2 F 2 + k 3 F 3 ↦ ϕ ( A ) := k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 3 . Und es ist nicht schwer zu sehen, dass dies ein Gruppenepimorphismus ist. Aber ich hatte ein Problem mit dem Kernel:

Das wollen wir beweisen Ker ⁡ ϕ = H .

' ' ⊇" Wir haben das ϕ ( F 1 + F 2 + 4 F 3 ) = X 1 + X 2 + 4 X 3 = 0 G ,   ϕ ( F 1 + 4 F 2 + F 3 ) = X 1 + 4 X 2 + X 3 = 0 G ,   ϕ ( 4 F 1 + F 2 + F 3 ) = 4 X 1 + X 2 + X 3 = 0 G ⟹ F 1 + F 2 + 4 F 3 , F 1 + 4 F 2 + F 3 , 4 F 1 + F 2 + F 3 ∈ Ker ⁡ ϕ ⟹ ⟨ F 1 + F 2 + 4 F 3 , F 1 + 4 F 2 + F 3 , 4 F 1 + F 2 + F 3 ⟩ = H ⊆ Ker ⁡ ϕ .

' ' ⊆" Lassen z ∈ Ker ⁡ ϕ = { A ∈ A : ϕ ( A ) = 0 G } . Dann, z ∈ A ⟺ z = k 1 F 1 + k 2 F 2 + k 3 F 3 ,   k ich ∈ Z Und k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 3 = 0 G .

Fragen

  1. Wie könnten wir das jetzt zeigen z ∈ H ?

  2. Die Gruppe

    G = { μ 1 X 1 + μ 2 X 2 + μ 3 X 3 : μ 1 , μ 2 , μ 3 ∈ Z  Und  X 1 + X 2 + 4 X 3 = X 1 + 4 X 2 + X 3 = 4 X 1 + X 2 + X 3 = 0 G } ,
    Rechts?

Danke schön.

Wenn k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 2 = 0 G , was sind die möglichen Werte von k 1 , k 2 , k 3 nach der Darstellung von G ?
Wie ist die vorgestellte Gruppe definiert? Es ist üblich, diese Quotientenkonstruktion der freien Gruppe als Definition für Gruppenpräsentationen zu nehmen.
@Javi 1 oder 4 ?
@Berci Das ist meine 2. Frage. Übersehe ich etwas in der Definition?
@Chris im Grunde ja, aber Sie können jede beliebige Kombination von Begriffen des Formulars verwenden k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 X 3 und es wird immer noch sein 0 G . Das ist genau die abelsche Gruppe, die von diesen Begriffen erzeugt wird, H , per Definition.
@ Ich glaube, ich vermisse es in der Definition. 1) Sind die Elemente X 1 , X 2 , X 3 Fest? 2) Ist meine zweite Frage wahr?
Ja, X 1 , X 2 , X 3 sind repariert. Ihre Definition in 2), insbesondere die Bedingungen darin mit X 1 , X 2 , X 3 ist nicht klar. Wie wurde die Präsentation im Unterricht definiert, wenn nicht durch den Quotienten? Vielleicht durch eine universelle Eigenschaft?
@Berci Eigentlich habe ich diese Übung in einigen früheren Vorlesungsnotizen gefunden, also habe ich die Definition nicht. Und das einzige, was ich habe, ist die abelsche Gruppe G := ⟨ X 1 , X 2 , X 3 : X 1 + X 2 + 4 X 3 = X 1 + 4 X 2 + X 3 = 4 X 1 + X 2 + X 3 = 0 G ⟩ . Und im Moment versuche ich, diese Definition zu verstehen. Könnten Sie mir bitte sagen, was das für ein Set ist?
Es wird normalerweise durch genau diese Konstruktion definiert A / H .
Bitte verwenden Sie einen aussagekräftigeren Titel.

Antworten (1)

Im Allgemeinen die Gruppenpräsentation G = ⟨ X ich | τ J = 0 ⟩ , Wo τ J sind lineare Terme, die Variablen verwenden X ich 's, bedeutet das G wird von den Elementen erzeugt X ich und genau die gegebenen Relationen und ihre Folgen werden erfüllt in G . Also wann immer τ ( . . X ich . . ) = 0 In G für eine Amtszeit τ , es muss eine Folge der gegebenen Relationen sein.

Beachten Sie, dass die Konsequenzen in diesem Fall gerecht sind Z -Linearkombinationen können wir die dargestellte Gruppe als Quotient genau definieren F ( . . X ich . . ) / ( . . A J . . ) Wo F bezeichnet die freie abelsche Gruppe.

Dies gesagt, 1. erfordert keinen Beweis.

Die Präsentation hat die wichtige universelle Eigenschaft, ähnlich wie bei freien Gruppen, dass immer eine abelsche Gruppe Y wird mit Elementen angegeben j ich ∈ Y so dass alle τ J ( . . X ich . . ) = 0 Halt, es gibt einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus F : G → Y mit F ( X ich ) = j ich .
Es ist auch möglich, eine Gruppendarstellung durch diese Eigenschaft zu definieren.

Für 2. ist Ihre Mengennotation nicht klar: die Elemente X 1 , X 2 , X 3 variieren nicht, und sie leben innerhalb des Satzes, den Sie gerade definieren.

Beachten Sie auch, dass sich Gruppenpräsentationen gut auf jede gleichungsdefinierte Klasse algebraischer Strukturen verallgemeinern lassen.

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