Kann nicht Ring werden, da das Vertriebsrecht nicht gilt

Kommutativer Ring mit Einheit ist definiert als ( R , + , × ) , Wo ( R , + ) ist die abelsche Gruppe und ( R , × ) ist kommutatives multiplikatives Monoid mit 1 Und + Und × erfüllt das Distributivgesetz.

Können Sie mir ein Beispiel geben ( R , + , × ) kann kein Ring sein, weil + Und × erfüllt jedoch nicht das Distributivgesetz ( R ， + ) ist die abelsche Gruppe und ( R , × ) ist kommutatives multiplikatives Monoid mit 1 .

+1, das ist eine großartige Frage. Ich habe vor einiger Zeit darüber nachgedacht und diese Frage gestellt, die Sie vielleicht interessieren könnte; math.stackexchange.com/questions/3900991/… . Ihre Frage bringt wirklich das auf den Punkt, woran ich da denken wollte
Ich dachte, im Ring sind ＋ und × abhängig (relevant) und sollten nicht unabhängig (irrelevant) sein, der einzige bedingte Ausdruck, den ＋ und × erscheinen (also sich zu beziehen scheinen), ist das Verteilungsgesetz. Das ist der Hintergrund, vor dem ich diese Frage gestellt habe.

Antworten (2)

Hier ist ein "dummes" Beispiel. Lassen R = Z , und lass × = + , dh Addition und Multiplikation sind dasselbe. Jetzt ( R , × ) ist ein kommutatives Monoid mit a 1 (dh, 0 ∈ R ). Dies ist eindeutig nicht distributiv: 1 × ( 1 + 1 ) = 3 ≠ 1 × 1 + 1 × 1 = 4 .

Lassen ( R , + ) = Z / 3 Z , und definieren ⋅ die eindeutige kommutative Operation sein R × R → R so dass

[ 0 ] ⋅ A = [ 0 ] für alle A

[ 1 ] ⋅ A = A für alle A

[ 2 ] ⋅ [ 2 ] = [ 0 ]

Sie können das überprüfen ( R , ⋅ ) ist ein kommutatives Monoid, aber das Distributivitätsgesetz gilt nicht, weil

[ 2 ] ⋅ [ 1 ] + [ 2 ] ⋅ [ 1 ] = [ 2 ] + [ 2 ] = [ 1 ] ≠ [ 0 ] = [ 2 ] ⋅ [ 2 ] = [ 2 ] ⋅ ( [ 1 ] + [ 1 ] ) .

Dies ist nicht das kleinstmögliche Beispiel, da ( Z / 2 Z , + , + ) ist kleiner..
Oh, guter Punkt! Danke, ich korrigiere meine Antwort.
Das kleinstmögliche Beispiel mit 0 ≠ 1 Ist ( Z / 2 Z , + , + ' ) Wo A + ' B = A + B + 1 .
Kann nicht Ring werden, da das Vertriebsrecht nicht gilt
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