Kann jedes Monoid in einen Ring verwandelt werden?

Nun, eine offensichtlich notwendige Bedingung für ein Monoid$M$eine Ringstruktur zuzulassen ist die Existenz eines Elements$0\in M$so dass$0\cdot x=x\cdot 0=0$für alle$x\in M$(ein absorbierendes Element). Dies gilt nicht für die meisten Monoide (z. B. nicht für eine nichttriviale Gruppe).

Aber auch diese Bedingung reicht nicht aus. Betrachten Sie zum Beispiel das Monoid$M=\{0,1,2\}$mit Betrieb$\min$(So$0$ist das absorbierende Element und$2$ist das Identitätselement). Dies lässt keine Ringstruktur zu, da der einzige Ring mit$3$Elemente bis auf Isomorphie ist$\mathbb{Z}/(3)$Und$M$ist nicht multiplikativ isomorph zu$\mathbb{Z}/(3)$(das nicht absorbierende Nichtidentitätselement von$\mathbb{Z}/(3)$hat ein inverses, aber nicht absorbierendes Element der Nichtidentität$M$nicht).