Ein Monoid, bei dem jedes Element endlich viele Teiler hat

Gibt es einen speziellen Namen oder wurden Monoide dieser Form untersucht? Dies ergab sich bei der Betrachtung der allgemeinen Konstruktion einer multivariaten Potenzreihenalgebra über einem Ring$R$; normalerweise nehmen wir die Menge der Funktionen$M\to R$Wo$M$ist der Satz$[I]$von endlichen Multimengen auf der Indexmenge$I$mit punktweiser Addition und Skalarmultiplikation, und definieren Sie die Multiplikation als$(ab)_\alpha=\sum_{\beta\le\alpha} a_\beta b_{\alpha-\beta}$, Wo$\alpha,\beta\in[I]$,$\alpha-\beta$ist die Multimenge, die durch Entfernen aller Elemente von gebildet wird$\beta$aus$\alpha$(mit Multiplizität) und$\beta\le\alpha$bedeutet, dass alle Elemente in$\beta$sind in$\alpha$mit gleicher oder größerer Vielfalt.

Diese Definition lässt alle Monome miteinander kommutieren, zum Beispiel if$I=\{1,2\}$Dann$x_1^2x_2=x_{\{1,1,2\}}=x_{\{2,1,1\}}=x_2x_1^2$(Wo$x_{\{1,1,2\}}$ist die Notation für die Koeffizientenfunktion, die ist$1$bei$\{1,1,2\}$und null bei jedem anderen$\alpha\in[I]$). Dies ist möglicherweise nicht wünschenswert, daher kann man auf die Situation verallgemeinern, in der keine der Variablen pendelt, und in diesem Fall sind die Monome durch Zeichenfolgen wie gegeben$x_1x_2x_1x_3$, das heißt, wir nehmen$M$das freie Monoid an sein$I$, wobei die Multiplikation jetzt durch definiert wird$(ab)_\alpha=\sum_{\beta\gamma=\alpha} a_\beta b_\gamma$(wobei die Summe über alle möglichen Werte von genommen wird$\beta,\gamma\in M$so dass$\beta\gamma=\alpha$). Dies ist sowohl im freien Monoid als auch im früheren Multiset-Monoid (das eigentlich das freie kommutative Monoid ist) aufgrund der Gleichung gut definiert$\beta\gamma=\alpha$hat nur endlich viele Lösungen.

Um auf die Frage zurückzukommen, gab es irgendwelche Studien oder einen Namen für Monoide?$M$so dass$\{\beta\in M:\beta\mid\alpha\}$ist für jeden endlich$\alpha$, oder die Potenzreihenalgebren, die sich auf solchen Monoiden ergeben (durch Wiederholen der obigen Konstruktion auf einem beliebigen solchen Monoid anstelle eines freien Monoids oder eines freien kommutativen Monoids)?