Während meines Grundstudiums hatte ich wenig Kontakt mit Algebra, da ich im Wesentlichen nur die Grundlagen der Gruppentheorie mit Schwerpunkt auf den Symmetrien des euklidischen Raums und einen Kurs über Galois-Theorie abdeckte. Ich habe diese Fächer sehr genossen und würde gerne mehr Algebra lernen.
Allerdings muss ich das im Selbstlernmodus machen, und ich müsste auch die Themen ein wenig eingrenzen. Ich promoviere in topologischer Analyse, daher ist das Hintergrundmaterial, das ich derzeit studiere, im Großen und Ganzen Differentialgeometrie, Funktionsanalyse und algebraische Topologie. Ich beschränke meine Interessen nicht generell auf diese (interessanten!) Bereiche, sondern muss mich aus Zeitgründen zurückhalten.
Frage 1:
Was sind die geeignetsten Themen in Algebra, die ich nebenbei studieren könnte? Ich habe bereits einige Ideen, wie multilineare Algebra, Modultheorie, Clifford-Algebren (ich muss Dirac-Operatoren verstehen) oder homologische Algebra, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies tatsächlich die "optimale" Wahl ist (vorbehaltlich der Einschränkung, die ich brauche). Fokus auf den Abschluss meiner Promotion). Ein anderer Weg wäre die Lügentheorie und die Repräsentationstheorie (eng verwandt und sehr nützlich in "meinem" Bereich, wenn auch nicht rein algebraisch). Aber wie gesagt, es gibt vielleicht bessere Möglichkeiten, auch bin ich mir bewusst, dass meine Vorschläge in Bezug auf ihre Allgemeingültigkeit sehr unterschiedlich sind.
Ein weiteres Thema, mit dem ich mich unbedingt vertraut machen möchte, ist die Kategorientheorie! Wenn ich die Zeit finde, mehr Zeit mit Algebra zu verbringen, würde ich es vorziehen, es aus der Sicht der Kategorientheorie zu tun.
Frage 2:
Was sind die empfehlenswerten Algebra-Bücher für Hochschulabsolventen, die sich gut zum Selbststudium eignen, sich auf die entsprechenden Themen konzentrieren (wie beispielsweise oben vorgeschlagen) und die Kategorientheorie berücksichtigen? (Mit Abschluss meine ich, dass ich eine gewisse mathematische Reife habe, obwohl mein Algebra-Hintergrund schwach ist.)
Vielen Dank!
Paolo Aluffis "Algebra : Chapter 0" ist eine Art Einführung in die Algebra auf kategorische Weise. Ich würde jedoch Isaacs "Algebra A Graduate Course" empfehlen, obwohl es sich nicht um Kategorientheorie handelt.
Clifford & Preston 1961, The Algebraic Theory of Semigroup, ist ein sehr interessantes Buch für Algebra, eine sehr interessante Art und Weise, wie alle Konzepte in diesem Buch behandelt werden.
Bill Koch
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Martin Brandenburg
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