Gruppenaktion und Automorphismus einer Gruppe

Question

Gruppenaktion und Automorphismus einer Gruppe

Mathematik
Gruppentheorie
endliche Gruppen
Gruppenaktionen
abstrakte Algebra

Mathematik

Ich habe vor einiger Zeit eine Frage gestellt, die schlecht aufgenommen wurde. Zugegeben, meine Vorlesungsnotizen waren auch ziemlich schlampig, was zu meiner Unfähigkeit beigetragen haben könnte, die Frage zu formulieren, die ich wollte.

was natürlich schlampig ist...

Automorphismus einer Gruppe ist eine Gruppenaktion

Hier ist die Definition für Gruppenaktion:

Sei G eine Gruppe, $\Omega$ sei eine endliche Menge. Eine Funktion $\mu: \Omega \times G\rightarrow \Omega$

heißt eine Aktion von G on $\omega$ wenn zwei Eigenschaften erfüllt sind:

1) $\mu \left ( \omega,e\ \right )=\omega$

2) $\mu\left ( \omega,gh \right )=\omega^{gh}=\mu\left ( \mu\left ( \omega,g \right ),h \right )$

Eintauchen in das Problem:

Gegeben ist die Definition für die Wirkung einer Gruppe G auf eine Menge, die Tatsache, dass Aut(G) darauf wirkt $\Omega=G$ wirkt wie Aut(G) als Gruppenaktion.

In der verlinkten Angabe hat ein Poster eine Karte vorgeschlagen, die sich jedoch an die allgemeine Definition der von mir oben gegebenen Karte hält.

es scheint, dass die Karte ist

$\mu:Aut\left ( G \right ) \times \Omega \rightarrow G$

$\left ( \phi,g \right ) \mapsto g$

also sollten wir nachsehen

$\mu\left ( \phi_{1}\phi_{2},g \right ) =g^{\phi_{1}\phi_{2}}$

Und

$\mu\left ( \phi_{e},g \right )$ , Kompatibilität bzw. Identität.

Habe ich recht?

Jede Hilfe, um meine Zweifel auszuräumen, wird sehr geschätzt.

aPaulT

Vielleicht ist ein Teil der Verwirrung, dass Sie eine haben

G

$G$ in Ihrer Definition einer Gruppenaktion und a

G

$G$ in Ihrem speziellen Beispiel, aber sie spielen unterschiedliche Rollen -

A u t (G)

$Aut(G)$ ist der '

G

$G$ ' in der Gruppenaktion, die Sie erwägen, während

G

$G$ ist der '

Ω

$\Omega$ '. Warum schreiben Sie die Definition einer Gruppenaktion nicht um, indem Sie beispielsweise Folgendes verwenden:

H

$H$ Und

Ω

$\Omega$ , und verwenden Sie diese, um die zu untersuchen

A u t (G)

$Aut(G)$ ,

G

$G$ Beispiel?

Antworten (1)

Gruppenaktion und Automorphismus einer Gruppe

Vielleicht ist ein Teil der Verwirrung, dass Sie eine haben $G$ in Ihrer Definition einer Gruppenaktion und a $G$ in Ihrem speziellen Beispiel, aber sie spielen unterschiedliche Rollen - $Aut(G)$ ist der ' $G$ ' in der Gruppenaktion, die Sie erwägen, während $G$ ist der ' $\Omega$ '. Warum schreiben Sie die Definition einer Gruppenaktion nicht um, indem Sie beispielsweise Folgendes verwenden: $H$ Und $\Omega$ , und verwenden Sie diese, um die zu untersuchen $Aut(G)$ , $G$ Beispiel?

Benutzer370967 · Answer 1

Definieren Sie die Zuordnung $f: (Aut(G), \circ) \times G \to G: (\varphi,g) \mapsto\varphi(g) = \varphi.g$

Offensichtlich ist diese Zuordnung wohldefiniert, da $Aut(G)$ ist eine Funktion $G \to G$

Wenn $f$ definiert eine Aktion, dann müssen wir das haben:

1) $\forall \varphi,\phi \in Aut(G), \forall g \in G: \varphi.(\phi.g) = (\varphi \circ \phi).g$

2) $\forall g \in G: 1_G.g = g$

Beweisen wir also diese beiden Eigenschaften: Take $\varphi,\phi \in Aut(G)$ , $g \in G$

1) $(\varphi \circ \phi).g = \varphi \circ \phi(g) = \varphi(\phi(g)) = \varphi.\phi(g) = \varphi.(\phi.g)$

2) $1_G.g = 1_G(g) = g$

Somit, $f$ definiert eine Gruppenaktion von $Aut(G)$ An $G$

Verwenden $\phi$ Und $\varphi$ zwei verschiedene Morphismen zu bezeichnen, macht die Sache wirklich schwer lesbar.

Gruppenaktion und Automorphismus einer Gruppe

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aPaulT

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Benutzer370967

Nephry

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