Linke reguläre Aktion isomorph zur rechten regulären Aktion

Ich lese etwas über reguläre Gruppen und habe eine Frage, warum die linken und rechten regulären Aktionen isomorph sind.

Lassen$G$eine Gruppe sein. Betrachten Sie den Homomorphismus$\rho: G \rightarrow Sym(G), g \mapsto \rho_g$, Wo$\rho_g: x \mapsto xg$. Daran erinnern, dass das Bild$R(G)$dieses Homomorphismus ist isomorph zu$G$nach dem Satz von Cayley. Ebenso die linke reguläre Darstellung$L(G):=\{\lambda_g: g \in G\}$, Wo$\lambda_g: x \mapsto g^{-1}x$, ist ebenfalls isomorph zu$G$, woher$L(G) \cong R(G)$da die Isomorphie eine transitive Relation ist. Alternative,$\rho_g \mapsto \lambda_g$ergibt einen direkten Isomorphismus zwischen$R(G)$Und$L(G)$.

In dem Text, den ich gerade lese, ist Aktion durch rechte Multiplikation definiert als$\mu(x,g) = xg$. Und dann sagt der Text

„Es gibt auch eine linke reguläre Vertretung von$G$auf sich selbst, gegeben durch die Regel, dass$\mu(x,g) = g^{-1} x$. (Die Umkehrung ist hier erforderlich, um eine ordnungsgemäße Aktion auszuführen: Beachten Sie das$h^{-1}(g^{-1}x)=(gh)^{-1}x$.) Sie ist, wie der Name schon sagt, auch eine reguläre Aktion und muss daher isomorph zur rechten regulären Aktion sein: nämlich die Landkarte$x \mapsto x^{-1}$ist ein Isomorphismus.''

Meine Frage bezieht sich auf den letzten Teil, der das sagt$x \mapsto x^{-1}$ist ein Isomorphismus. Ich dachte, dass dies nur für abelsche Gruppen gilt .

Vielleicht die Tatsache, dass$x \mapsto x^{-1}$ist eine Bijektion, was hier erforderlich ist, da der Text zwei Aktionen wie folgt als isomorph definiert: Wenn$\rho: \Omega \times G \rightarrow \Omega$Und$\lambda: \Delta \times G \rightarrow \Delta$Sind$G$-Aktionen, dann heißen sie isomorph, wenn es eine Bijektion gibt$\theta: \Omega \rightarrow \Delta$so dass$\forall \alpha \in \Omega, g \in G$, wir haben$\rho(\alpha,g) \theta = \lambda(\alpha \theta,g)$, dh jedes Element von$G$bewirkt im Wesentlichen die gleiche Permutation an diesen beiden Sätzen. Es kann verifiziert werden, dass diese Definition isomorpher Aktionen für die linken und rechten regulären Aktionen unter Verwendung der Korrespondenz erfüllt ist$\theta:x \rightarrow x^{-1}$.

Ich vermute also, dass der Autor sagen wollte, dass die Inversionskarte eher eine Bijektion als ein Isomorphismus ist. Mir fiel keine Möglichkeit ein, das zu beweisen$L(G) \cong R(G)$oder um zu beweisen, dass die linken und rechten regulären Aktionen isomorph sind, indem man die Tatsache verwendet , dass$x \mapsto x^{-1}$ist ein Homomorphismus (tatsächlich denke ich, dass diese Inversionskarte genau dann ein Homomorphismus ist, wenn die Gruppe abelsch ist).