Die Umlaufbahnen in Bezug auf zwei Gruppen derselben Konjugationsklasse sind isomorph

Auf der Wikipedia-Seite für die symbolische Methode von Flajolet und Sedgewick

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Symbolic_method_(combinatorics)

Unter der Überschrift "Klassen kombinatorischer Strukturen" heißt es: "Die Umlaufbahnen in Bezug auf zwei Gruppen derselben Konjugationsklasse sind isomorph."

Kennt jemand einen Beweis dafür? Vielleicht so etwas wie:

Definitionen/Notation:

• $G$ist eine Gruppe.

• $X$Ist ein Satz.

• $\psi: G \times X \rightarrow X$ist ein$G$Aktion an$X$.

• $H$Und$H^{\prime}$sind konjugierte Untergruppen von$G$- das ist,$H^{\prime} = gHg^{-1}$für einige$g \in G$.

• $H$Und$H^{\prime}$handeln$X$durch die Beschränkungen von$\psi$Zu$H$Und$H^{\prime}$, bzw.

• $\text{orb}_{H}(x)$Und$\text{orb}_{H^{\prime}}(x)$bezeichnen die Bahnen von$x \in X$gegenüber$H$Und$H^{\prime}$, bzw.

• $\phi$bezeichnet die Isomorphie zwischen$H$Und$H^{\prime}$definiert von$\phi(h) = ghg^{-1}$.

Definieren Sie nun die Funktion$f: \text{orb}_H(x) \rightarrow \text{orb}_{H^{\prime}}(\psi(g, x))$von

$$\begin{equation*} f(\psi(h, x)) = \psi(\phi(h), \psi(g, x)). \end{equation*}$$ Dann,$f$ist eine wohldefinierte Bijektion und $$\begin{align*} f(\psi(h, z)) = \psi(\phi(h), f(z)). \end{align*}$$ Vielen Dank.