Stabilisator einer Kante des Würfels und seiner Umlaufbahn bestimmen

Lassen$G$sei die Symmetriegruppe des Würfels und betrachte die Wirkung von$G$auf der Kantenmenge des Würfels. Bestimme den Stabilisator einer Kante und ihre Umlaufbahn. Berechnen Sie daher die Reihenfolge von$G$.

Die symmetrische Gruppe$S_n$wirkt am Set$X=\{1,2,3,\ldots,n\}$, und wirkt daher weiter$X\times X$von$g(gx,gy)$. Bestimmen Sie die Bahnen von$S_n$An$X\times X$.

Hinweis: Wenn ich mich dem ersten Teil nähere, sollte es offensichtlich sein, dass die Umlaufbahn 12 Elemente enthält, da eine Kante durch Rotation und Rotationskombination zu jeder anderen Kante gehen kann, aber ich weiß nicht, wie ich dies auf organisierte Weise zeigen soll. zB wenn ich mich entscheide, die Achsen durch die Mitte der gegenüberliegenden Flächen des Würfels als meine Rotationsachsen zu verwenden und sie a, b, c zu nennen, wie kann ich die Art der Rotation beschreiben, die die ursprüngliche Kante mit abc an andere sendet, so dass jeder Fall berücksichtigt und keine Wiederholung? Und die gleiche Frage für Stabilisator. Es scheint mir, dass viele Drehungen die Kante schließlich an ihren ursprünglichen Platz zurückbringen können, aber ich weiß nicht, wie ich sie kategorisieren und diejenigen erkennen soll, die im Wesentlichen die gleichen Eigenschaften haben.

ps Es kann ein bisschen mühsam sein, aber ich wäre sehr dankbar, wenn Sie mit einer Skizze des Würfels antworten könnten, damit ich es besser verstehen kann.