Wie mächtig ist Cayleys Theorem?

Es ist wahrscheinlich erwähnenswert, dass Einbettungen in symmetrische Gruppen minimalen Grades von mehreren Autoren untersucht wurden, darunter DL Johnson, Minimal permutation presentations of finite groups , Amer. J. Math. 93 (1971), 857-866, D. Wright, Degrees of minimal embeddings for some direct products , Amer. J. Math. 97 (1975), 897–903. Siehe auch N. Saunders, Minimal Faithful Permutation Degrees of Finite Groups , Aust. Mathematik. Soc. Gazette 35 , no.2 (2008), 332-338, und Strikte Ungleichheiten für minimale Grade direkter Produkte , Bull. 6/8-1999, Ziff. Aust. Mathematik. Soc. 79 , no.1 (2009), 23–30 vom selben Autor.

Ferner, und um vollständig zu sein, sollte ich den Artikel von David Easdown und Cheryl Praeger, On minimaltreue Permutationsdarstellungen endlicher Gruppen , Bull. Australien. Mathematik. Soc. 38 (1988), 207-220, und eine "neuere" Arbeit , die den gleichen Titel trägt, aber von LG Kovács und Cheryl Praeger, Bull. Australien. Mathematik. Soc. 62 (2000), 311-317.

Schließlich bestimmen Robert Heffernan, Des MacHale und Brendan McCann in Minimale Einbettungen kleiner endlicher Gruppen (siehe https://arxiv.org/abs/1706.09286 ) die Gruppen minimaler Ordnung, in denen alle Gruppen der Ordnung sind $n$kann für eingebettet werden$1 \leq n \leq 15$. Sie bestimmen ferner die Reihenfolge einer minimalen Gruppe, in der alle Gruppen oder Reihenfolgen sind$n$ oder weniger eingebettet werden können, auch z$1 \leq n \leq 15$.

Ein nettes Ergebnis ist das folgende: Let$G$eine Gruppe minimaler Ordnung sein, in der alle Gruppen der Ordnung$12$eingebettet werden können. Dann$G \cong S_3 \times S_4$.

Die Antwort ist „manchmal“. Zum Beispiel alle Gruppen der Bestellung$6$($C_6$Und$S_3$) ausschlafen$S_5$, sondern die Quaterniongruppe$Q_8$der Ordnung$8$erfordert$S_8$. Es gibt unendlich viele$n$so dass es eine Ordnungsgruppe gibt$n$das nicht einbettet$S_{n-1}$, und unendlich viele, für die dies nicht gilt.

Bearbeiten: Einfacher, zyklische Bestellgruppen$p^n$kann nicht eingebettet werden$S_{p^n-1}$.

Aber falls$n$ist keine Urmacht dann alle Ordnungsgruppen$n$einbetten$S_{n-1}$. Um dies zu sehen, da$G$hat keine Primzahl, sondern ist durch zwei Primzahlen teilbar$p$Und$q$. Dann$G$hat ein Ordnungselement$p$und ein Element der Ordnung$q$,$x$Und$y$sagen. Die Wirkung auf die Nebenmengen von$\langle x\rangle$Union die Aktion auf die Nebenmengen von$\langle y\rangle$ergibt eine (getreue!) Einbettung von$G$in eine symmetrische Gradgruppe$|G|/p+|G|/q<|G|$.

Edit 2: Wenn man nur eine richtige Untergruppe will$S_n$enthält alle Ordnungsgruppen$n$, dann ist dies immer für alle der Fall$n>2$. Die einzigen Fälle, die behandelt werden müssen, sind$n$eine Primärmacht, wie oben. Aber dann alle$p$-Gruppen sind in einem Sylow enthalten$p$-Untergruppe, die die Ordnung hat$p$-Teil von$n!$. Dies ist (offensichtlich) viel kleiner als$n!$.

Im Allgemeinen habe ich (obwohl Nicky Hekster es anscheinend getan hat) noch nie eine Arbeit zur Konstruktion einer Minimalgruppe gesehen, die alle Ordnungsgruppen enthält$n$. Für$n=6$Beispielsweise ist diese Gruppe die Diedergruppe$D_{12}$, welches ist$C_2\times S_3$. Das ist viel kleiner als$S_5$, die kleinste symmetrische Gruppe, die beide Ordnungsgruppen enthält$6$. Wenn$|G|=p^2$dann ist das$C_{p^2}\times C_p$, der Ordnung$p^3$.

Als erstes Beispiel für ein solches "kleineres Universum" denken Sie an irgendein Endliches$G$einen richtigen Normalteiler haben,$H$. Dann,$G$wirkt durch Konjugation auf$H$, und der Kern dieser Aktion ist$C_G(H)$. Daher, wenn$C_G(H)$ist dann trivial$G$bettet sich ein$S_{|H|}$, das ein "kleineres Universum" ist als (Cayleys)$S_{|G|}$. Zum Beispiel,$C_{S_4}(A_4)=\{1\}$und daher$S_4\hookrightarrow S_{12}$(ohne Anspruch darauf, dass dies die minimale Einbettung ist).

Im Gegenteil, wenn$|G| = p > m$ist dann prim$p \not\mid |S_m| = m!$. Daher kann es keine Einbettung geben$G \hookrightarrow S_m$, weil ihr Bild eine Untergruppe der Ordnung wäre$p$, was dem Satz von Lagrange widerspricht. In diesem Fall ist Cayleys Universum also das "kleinstmögliche Universum".

Das vielleicht einfachste Beispiel für eine solche "schärfere" (obwohl kein Anspruch auf Minimalität) Einbettung ist die von$D_n$hinein$S_n$(der kleiner ist als der von Cayley$S_{2n}$). In der Tat mit der Standardnotation für die Elemente von$D_n$, lassen$H:=\{1,s\}\le D_{n}$; Dann,$rHr^{-1}=\{1,r^2s\}$und daher$H\cap rHr^{-1}=\{1\}$sobald$n>2$. Dies reicht aus, um den normalen Kern herzustellen$H$In$G$trivial, und daher die Aktion von$D_n$auf der linken Quotientenmenge$D_n/H$(von Größe$n$) treu.