Was ist in Laiensprache eine allgemeine affine Gruppe?

Ich versuche, die Gesamtzahl der Untergruppen für jede Untergruppe in zu berechnen S 5 . Eine Untergruppe drin S 5 ist die allgemeine affine Gruppe G A ( 1 , 5 ) .

Dieselbe Website bietet eine Definition der allgemeinen affinen Gruppe. Für jemanden, der neu in der Gruppentheorie ist, ist die Seite nicht zu anfängerfreundlich. Die Wikipedia-Seite ist nicht viel besser. Ich habe versucht, mir ein Cayley-Diagramm vorzustellen, aber ich weiß nicht, wo ich anfangen soll.

Was ist eine allgemeine affine Gruppe in einfachen Worten?

Wenn Sie die allgemeine lineare Gruppe kennen, dann handelt es sich im Grunde genommen um lineare Automorphismen plus Translationen (Transformationen, die den Ursprung eines Vektorraums verschieben). Der Trick besteht darin, dass aufgezeichnet wird, was passiert, wenn Sie verschieben und dann einen linearen Automorphismus ausführen. Es sind im Grunde invertierbare Matrizen, aber Sie dürfen den Ursprung verschieben.
@AndresMejia Danke für die Antwort! Ich sollte klarstellen, dass ich derzeit Gruppentheorie in der High School belege. Ich bin mir nicht ganz sicher, worauf sich die Begriffe "allgemeine lineare Gruppe" und "Automorphismus" beziehen. Würden Sie etwas ausarbeiten?
Sicher. Überlegen Sie sich am besten erst einmal die realen Zahlen. Die allgemeine lineare Gruppe besteht aus Matrizen, die eine Inverse haben. Die Gruppenoperation ist die Matrixmultiplikation (oder die Zusammensetzung linearer Funktionen). Eine Anforderung an lineare Funktionen oder Matrizen ist, dass sie Null zu Null senden. Affine Transformationen müssen dies nicht tun. Automorphismus bedeutet einfach invertierbar. Eine Möglichkeit für den Einstieg besteht darin, dass es sich um Karten handelt, die Spiegelung, Streckung, Drehung und Verschiebungen kombinieren.

Antworten (1)

G A ( N , Q ) für Q eine Primzahl ist die Matrixgruppe bestehend aus Matrizen in M ( N + 1 ) × ( N + 1 ) ( F Q ) des Formulars

[ A v 0 1 ]
Wo A ist ein invertierbar N × N Matrix und v ist von Länge N . G A ( N , F ) für F ein beliebiges Feld ist ähnlich, F ersetzen F Q .

G A ( 1 , 5 ) kann daher als die Gruppe von dargestellt werden 5 × 4 = 20 Matrizen mit Einträgen in F 5 des Formulars

[ A B 0 1 ]
mit A ≠ 0 ; dass es eine Untergruppe von ist S 5 gilt nur im abstrakten Sinne. G A ( 2 , R ) ist in SVG als die Gruppe aller (invertierbaren) transformStrings bekannt:
Matrix(a,b,c,d,e,f) = [ A C e B D F 0 0 1 ]
Bei Anwendung auf einen 2D-Punkt ( X , j , 1 ) T , A = B = C = D = 0 gibt eine Übersetzung, e = F = 0 gibt eine lineare Transformation (Rotation, Reflexion, Scherung usw.) und der allgemeine Fall führt den linearen Teil und dann die Translation aus.

Danke für die Antwort! Wenn es Ihnen nichts ausmacht, näher darauf einzugehen, ich habe ein paar Fragen. 1) Ist eine Matrixgruppe nur eine Menge von Matrizen mit einer Operation (was ist die Operation, wenn ja)? 2) Würden Sie bitte erklären, was F Q und ein "Feld" ist?
@StackOverflow Matrixgruppen haben eine Matrixmultiplikation als Gruppenoperation und F Q ist die Standardnotation für den endlichen Körper auf Q Elemente.
Danke für die erneute Antwort! Ich verstehe, dass ein Feld eine Menge ist, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division definiert und definiert sind, genau wie bei rationalen und reellen Zahlen. Ich bin mir nicht sicher, was ein "endliches Feld an Q elements" sieht aber so aus. Könnten Sie das näher erläutern?
Wenn es Ihnen nichts ausmacht, wenn ich weiter frage, wie sind Sie dazu gekommen? 5 × 4 = 20 Matrizen für G A ( 1 , 5 ) ?
@StackOverflow Sie können Wikipedia zu endlichen Feldern nachschlagen. 20 kommt zustande wegen 4 Auswahlmöglichkeiten ungleich Null für A (um Invertierbarkeit zu gewährleisten) und 5 für B .
Für P Primzahl, F P ist nur Z / P Z , die ganzen Zahlen modulo P . Jeder andere endliche Körper ist eine einfache algebraische Erweiterung von einigen F P durch ein zusätzliches Element, das eine Polynomgleichung erfüllt, genauso wie C wird bezogen von R durch Angrenzen eines Elements ich das befriedigt ich 2 + 1 = 0 .
@StackOverflow Es ist nicht klar, ob Sie das fragen, aber die 20 kommt aus der grundlegenden Kombinatorik. Du hast 4 Wahlmöglichkeiten für A Und 5 Wahlmöglichkeiten für B . Siehe hier .
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