Warum ist Assoziativität für Gruppen erforderlich?

Warum ist Assoziativität für Gruppen erforderlich?

Ich mache eine Arbeit über lineare Algebra und wir konzentrieren uns im Moment auf Gruppen, insbesondere um zu beweisen, ob etwas eine Gruppe ist oder nicht. Es gibt vier Axiome:

  1. Das Set ist unter der Operation geschlossen.
  2. Die Operation ist assoziativ.
  3. Die Existenz und Identität in der Gruppe.
  4. Jedes Element in der Gruppe hat eine Umkehrung, die auch in der Gruppe ist.

Warum muss die Operation assoziativ sein?

Danke

Antworten (5)

Es ist nicht so, dass für Gruppen Assoziativität erforderlich ist ... Das ist ziemlich rückwärtsgewandt: Die Wahrheit ist tatsächlich, dass Gruppen assoziativ sind .

Ihre Frage scheint aus der Idee zu stammen, dass Menschen entschieden haben, wie sie Gruppen definieren, und dann begannen, sie zu studieren und sie interessant zu finden. In Wirklichkeit war es umgekehrt: Die Leute hatten Gruppen studiert, lange bevor jemand eine Definition gegeben hat. Als man sich auf eine Definition geeinigt hatte, schauten sich die Leute die Gruppen an, die sie zur Hand hatten, und stellten fest, dass sie zufällig assoziativ waren (und dass dies eine nützliche Information über sie war, wenn man mit ihnen arbeitete), sodass sie in die Definition aufgenommen wurden.

Wenn ich so sagen darf, ist es wichtig, dies zu verstehen . Die Art und Weise, wie wir heutzutage abstrakte Algebra lehren, verschleiert diese Tatsache etwas, aber so kommt im Wesentlichen alles zustande.

Ein sehr wahrer Kommentar!
Wenn ich mich richtig erinnere, gab es vor etwas mehr als hundert Jahren ein paar Definitionen von „Gruppe“. Es war zu Burnsides Zeiten, als es behoben wurde (ich meine, grundlegende Gruppen waren bis zu diesem Zeitpunkt kein „Ding“, also macht das alles Sinn.)
@ user1729 Die ursprüngliche Definition einer Gruppe - ich glaube von Cayley (?) - war eine Gruppe von Transformationen, die heute in Geometrie und Physik die Diedergruppen in der Ebene und im dreidimensionalen Raum genannt werden. Die erste abstrakte Definition einer Gruppe unter Verwendung der bekannten Axiome stammte von Leopold Kronecker, glaube ich, aus dem Jahr 1879. Kroneckers Definition war jedoch nicht ganz modern, da sie Kommutativität erforderte – was Kronecker eine Gruppe nannte, ist eigentlich das, was wir heute eine nennen Abelsche Gruppe. Tatsächlich waren es Burnside und seine Zeitgenossen, die die aktuelle Definition formulierten.
Sehr guter Punkt dort J

Gruppen sind eine Abstraktion. Was abstrahieren sie? Die Idee der Symmetrie . Symmetrien sind Funktionen von einer Menge zu sich selbst, die eine gewisse Struktur dieser Menge bewahren; Beispielsweise sind die Symmetrien eines Quadrats Drehungen und Spiegelungen, und sie bewahren die "Rechtwinkligkeit" (um es vage auszudrücken).

Die Multiplikation in einer Gruppe abstrahiert Komposition von Symmetrien (z.B. „rotate 90 ∘ , dann reflektiere über die Linie X = j "), und die Zusammensetzung von Funktionen ist immer assoziativ.

Die Antwort des Formalisten lautet: Es ist nur eine Definition. Sie könnten genauso gut in Betracht ziehen, algebraische Strukturen zu studieren, die alle Axiome für eine Gruppe außer der Assoziativität erfüllen, und Sie würden dann Schleifen studieren .

Nun könnte die Frage lauten: Warum ist das Studium von Gruppen allgegenwärtiger als das Studium von Schleifen? Es gibt historische Gründe (sicherlich können andere mit größerem Wissen darauf eingehen), und die Tatsache, dass die meisten Schleifen, die beim Rechnen natürlich entstehen, tatsächlich Gruppen sind, ist wahrscheinlich auch ein Grund.

Danke für die Antwort, ich habe noch eine Frage, wenn es Ihnen nichts ausmacht. Wegen des Assoziativitätsaxioms müssen wir natürlich prüfen, ob die Operation assoziativ ist. Kommt die Assoziativität der Operation immer aus der zugrunde liegenden Menge? Wie beweist man, dass etwas assoziativ ist, ohne vorher zu wissen, dass es das ist? Wie würde man das zum Beispiel beweisen 1 + ( 2 + 3 ) = ( 1 + 2 ) + 3 ohne einfach zu akzeptieren, dass es so ist? Das hat mich verwirrt, weil alle Beweise, die wir für die Assoziativität führen, im Allgemeinen nur besagen, dass dies der Fall ist.
@user1520427: das weiß ich zum Beispiel 2 + 3 = 5 , 1 + 5 = 6 . Das kenne ich auch 1 + 2 = 3 , 3 + 3 = 6 . Ich kann also in diesem Fall die Assoziativität überprüfen. Wenn Sie beweisen möchten, dass die ganzzahlige Addition assoziativ ist, müssen Sie von einer bestimmten Definition der ganzzahligen Addition ausgehen.
Das ist eine gute Frage! Im Allgemeinen ist der Nachweis der Assoziativität einer Operation entweder sehr einfach, weil sie sich unmittelbar aus der zugrunde liegenden Struktur ergibt, oder sehr schwierig/mühsam, weil sie für eine große Anzahl von Fällen verifiziert werden muss. Diese zweite Situation kann auftreten, wenn Sie versuchen, alle Gruppen einer bestimmten Ordnung zu finden – insbesondere wenn die Ordnung eine Potenz einer Primzahl ist.
Welche historischen Gründe, können Sie einen nennen?

Kurz gesagt, weil wir uns entschieden haben, sie so zu definieren, weil das Hinzufügen von Assoziativität es uns ermöglicht, bestimmte Dinge robuster zu untersuchen.

Es gibt algebraische Strukturen, die gruppenartig sind, aber nicht alle diese Axiome erfüllen. Eine Quasi-Gruppe muss nicht assoziativ sein, und eine Schleife muss nicht assoziativ sein, muss aber Einheit haben.

Es mag also kreisförmig klingen, aber eine Gruppe muss assoziativ sein, denn wenn sie es nicht ist, dann ist sie keine Gruppe. Eine treffendere Frage könnte lauten: „Warum studieren wir Gruppentheorie und nicht Quasi-Gruppentheorie?“ In gewissem Sinne gibt uns Assoziativität mehr Freiheit und Macht.

So schön, hätte ich nie gedacht. Ich wünschte, Sie könnten mehr Details ausdrücken oder darauf verweisen, wie Assoziativität uns mehr Freiheit und Macht gibt. Wenn Sie möchten, können Sie dafür eine neue Frage formulieren. Aber es fehlt das richtige Wissen, um Antworten darauf zu erhalten. Warte also auf deine Zusage. Andernfalls könnten Sie hier weitere Eingaben machen, damit ich eine solche Frage formulieren kann. Was mich betrifft, so sehe ich die Frage anders, indem ich bedenke, dass Gruppen assoziativ sein müssen, da dann eine Umkehrbarkeit von Operationen möglich ist. Vielen Dank im Voraus für Ihre freundliche Antwort.

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Erfüllung dieser 4 Axiome alles ist, um eine Gruppe zu sein – in der Mathematik konstruieren wir Objekte, indem wir ihnen und den zugrunde liegenden Aggregaten Bedingungen auferlegen. (Ich verwende den Begriff "Menge" nicht, da sich die Mathematik nicht immer mit Mengen befasst, aber Sie verstehen, worauf es ankommt.) Was uns erlaubt, eine Theorie um ein bestimmtes definiertes Objekt herum aufzubauen, ist die Tatsache, dass wir die Eigenschaften für alles wählen sein, diese Eigenschaften müssen miteinander konsistent sein.Es sind die Folgen dieser konsistenten Koexistenz dieser Eigenschaften, die jedem Objekt seine unverwechselbaren Eigenschaften verleihen, die in den Theoren und Folgerungen dargelegt sind. Und das ist die Antwort auf Ihre Frage: Es stellt sich heraus, wenn Sie keine Assoziativität haben - das heißt, wenn Axiom (2) falsch ist, dann ist Axiom (4) falsch, weil Sie dann eine Menge haben können, die Inverse hat, die sind nicht richtige Umkehrungen und die Definition geht davon aus, dass die Umkehrung (sowie die Identität) zweiseitig ist. Betrachten Sie ein Element x einer Gruppe G, bei der es eine eindeutige Identität e und eine Linksinverse l und eine Rechtsinverse r für x gibt. Dann müssen sie nach Axiom (4) gleich sein, da beide die eindeutige Identität ergeben und jede Inverse zweiseitig sein muss. Aber:

l = l*e = 1*( x*r) = (1*x)*r = e*r= r.

Aber offensichtlich hängt die Tatsache von l = r von der Assoziativität der Operation ab. Was auch immer diese algebraische Struktur ist, es ist keine Gruppe ohne sie.

Hoffe das hat deine Frage beantwortet.

Wie ich sehe, ist mein Fanclub zurück und damit beschäftigt, mich willkürlich und anonym wieder herunterzustimmen. Haben Sie es.
Upvoted, um die Dinge auszugleichen. Ich wollte nur anmerken, dass es seltsam ist, Axiome "falsch" zu nennen. Darüber hinaus ist der letzte Teil etwas seltsam, da Sie sagen, dass (2) "false" (4) "false" impliziert, aber wenn wir (2) ausschließen, erhalten wir nur Strukturen, die ( 1), (3) und (4) – die gewöhnlichen Gruppen werden nicht unbedingt Teil dieser Strukturen sein. Das heißt aber nicht, dass Axiom (4) in irgendeiner Weise falsch ist, sondern nur, dass wir unsere Strukturen einschränken müssen.
@james Es hängt wirklich davon ab, wie Axiom (3) und (4) interpretiert werden. Ich nahm an, wie die meisten Algebraiker, dass eine Umkehrung für ein bestimmtes Element und die Identität für die gesamte Gruppe zweiseitig sind. Wir können (3) und (4) schwächen, sodass die Inversen und Identitäten streng einseitig angenommen werden – in der Tat können wir davon ausgehen, dass es MINDESTENS EINE von jeder gibt, was bedeutet, dass es nicht erforderlich ist, dass die Identität oder Inversen zweiseitig sind allein einzigartig. Aber wenn wir dies ohne Assoziativität annehmen würden. Aber noch einmal, die resultierenden Strukturen wären keine Gruppen, es sei denn, wir hätten eine radikale Neudefinition und Neuableitung ihrer Eigenschaften vorgenommen.
Ich spreche hier nicht wirklich über die spezifischen Axiome, ich spreche nur im Allgemeinen - Axiome können nicht wirklich "falsch" sein. Wenn wir ein bestimmtes Axiom nicht irgendwo einfügen, erhalten wir andere Strukturen.
@james Wir sagen wirklich dasselbe. Was ich mit meiner Antwort versucht habe - die das OP wirklich nicht bekommt - ist zu zeigen, warum es so sein MUSS. Die Wahrheit ALLER Axiome ist ALLES, WAS ES BEDEUTET, eine bestimmte Struktur zu sein, und in der Sekunde, in der wir eines davon fallen lassen, haben wir eine andere Struktur. Das schien der OP nicht zu verstehen.
@Mathemagician1234 Was für eine aufschlussreiche Diskussion!
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