Muss eine Menge GGG unter einer binären Operation ⋆⋆\star abgeschlossen werden, damit (G,⋆)(G,⋆)(G, \star) eine Gruppe ist?

Macht einen Satz$G$müssen unter einer binären Operation geschlossen werden$\star$für$(G, \star)$eine Gruppe sein?

Definition (binäre Operation): Eine binäre Operation auf einer Menge$G$ist eine Funktion

$$\star : G \times G \to G$$

Definition (Gruppe): Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar$(G, \star)$Wo$G$eingestellt ist und$\star$ist eine binäre Operation auf$G$die folgenden Axiome erfüllen

1. $(a \star b) \star c = a \star (b \star c) \forall a, b, c \in G$
2. $\exists e \in G$(genannt eine Identität von$G$) so dass$a \star e = e \star a = a \forall a \in G$
3. Für jede$a \in G$, Da ist ein$a^{-1}$In$G$(als Umkehrung von bezeichnet$a$) so dass$a \star a^{-1} = a^{-1} \star a = e$

Wenn für einige$a, b \in G$,$\not\exists \ c \in G$so dass$a \star b = c$. Ist$(G, \star)$noch eine Gruppe?

Ich weiß das, um das zu überprüfen$(G, \star)$eine Gruppe ist, müssen wir nur die Axiome für eine Gruppe überprüfen und verifizieren, dass die notwendigen Eigenschaften (von denen die Schließung keine ist) gelten, was mich zu der Annahme veranlasst$(G, \star)$ist in der Tat eine Gruppe, obwohl sie nicht unter geschlossen ist$\star$.

Aber vielleicht noch wichtiger ist, dass ich nicht verstehe, warum man eine Gruppe auf diese Weise definieren sollte (abgesehen davon, dass es offensichtlich allgemeiner ist). Ich kann die Motivation für die Schließung nicht erkennen, kein Axiom für eine Gruppe zu sein (wieder abgesehen von der Allgemeinheit).

Wie wir aus den Vektorraum-Axiomen wissen müssen, ist das$V$ist nur dann ein Vektorraum, wenn er sowohl unter Addition als auch unter Multiplikation geschlossen ist, woher diese Frage kam.

Gibt es noch allgemeiner einen Grund außer der Allgemeinheit, warum einige mathematische Strukturen ein Axiom für den Abschluss unter einer binären Operation haben (z. B. Addition/Multiplikation usw.) und andere nicht?