Muss bei einem Gruppenendomorphismus zwischen zwei Mengen die binäre Operation der beiden Mengen gleich sein?

Was heißt hier „gleich“? Meinst du, dass die Einmaleins-Tabellen genau übereinstimmen müssen? Etwas anderes?

@lulu: Ja, ich meine, dass die Einmaleins-Tabellen genau übereinstimmen müssen, also die Funktionen $\ast$Und $\cdot$sind gleich. Ich habe meinen Beitrag bearbeitet, um dies zu verdeutlichen.

Dann lautet die Antwort natürlich Nein. Betrachten Sie die zyklische Ordnungsgruppe $6$, erzeugt durch ein Element $a$oder bestellen $2$und ein Element $b$der Ordnung $3$. Wir könnten aber jetzt auch das gleiche Set haben $a$hat Ordnung $3$Und $b$hat Ordnung $2$. Die Karte, die sich austauscht $a,b$ist ein Isomorphismus, aber die Gruppengesetze sind nicht "gleich".

Oder, einfacher gesagt, nehmen Sie die Bestellgruppe $2$und wechseln Sie die Rolle der Identität und des Generators.

Aber...normalerweise spricht man nur von Gruppengesetzen "bis auf Isomorphie". Die Namen, die Sie den verschiedenen Gruppenelementen zuweisen, sagen nicht viel aus.

Ich denke, was das OP bedeutet, ist dies. Betrachten Sie einen Homomorphismus $j:G\to H$, wobei die Menge der Elemente für $G$und der Satz von Elementen für $H$haben die gleiche Kardinalität. Ist es der Fall, dass jedwede Bijektion $f:H\to G$wir verwenden, wir betrachten $g\mapsto f(j(g))$als Endomorphismus? Nicht gemäß der Definition eines Gruppenendomorphismus, wie er in meiner Antwort erwähnt wird

@lulu: Kann ich ein Beispiel geben, um sicherzustellen, dass ich Sie verstehe? Lassen $G=\{a,b\}$und betrachte die Gruppen $(G,\ast)$Und $(G,\cdot)$, Wo $\ast$Und $\cdot$sind wie folgt definiert: $$a\ast a=a \quad b\cdot b=b\\ a\ast b=b \quad b\cdot a = a\\ b\ast a=b \quad a\cdot b=a\\ b\ast b=a \quad a\cdot a=b$$ Ich denke, was Sie sagen, ist, dass die Funktion $\phi:G\to G$welche Karten $a$Zu $b$Und $b$Zu $a$ist ein Endomorphismus, da die Domäne von $\phi$gleich der Codomain ist und die Gruppenoperation beibehalten wird.

Die Frage hier ist, denke ich, was sind die Objekte in der Kategorie, die Sie im Sinn haben? Ich bin es nur gewohnt, Gruppen bis zur Isomorphie zu betrachten. Ich stimme zu, dass es anders ist, wenn Sie sagen, dass das Ändern der Namen ein neues Objekt in Ihrer Kategorie erzeugt.