Intuition modulare Äquivalenz von Elementen in allgemeinen Gruppen mit Element in Untergruppe (Herstein)

Lassen G eine Gruppe sein, H ist eine Untergruppe von G ; für A , B ∈ G wir sagen A ist deckungsgleich mit B Mod H , geschrieben als A ≡ B Mod H Wenn A B − 1 ∈ H

Herstein, Themen der abstrakten Algebra , Seite 34.

Was ist die Motivation hinter der obigen Definition?

Meine Gedanken:

Ich vermute, es macht etwas mit der Tatsache, dass eine Untergruppe die Gruppe in eine Vereinigung von disjunkten Nebengruppen dieser Untergruppe unterteilt. In der modularen Arithmetik sagen wir Äquivalenz, wenn die Reste gleich sind. Aber es fällt mir schwer zu verstehen, in welchem ​​​​Sinne die Elemente hier als Reste gedacht werden.

Antworten (1)

Der übliche Begriff der Kongruenz bei ganzen Zahlen besagt das A ≡ B Mod N wenn und nur N ∣ ( A − B ) , oder A − B ∈ N Z .

Wenn wir nehmen G = ( Z , + ) Und H = N Z , Dann A B − 1 = A − B und wir können dies umschreiben als

A ≡ B Mod H ⟺ A B − 1 ∈ H .
Dies ist eine Motivation, dies allgemein zu definieren.

Tatsächlich lassen sich viele Konzepte der Gruppentheorie mit der Gruppe der ganzen Zahlen veranschaulichen, und dies hat oft eine schöne Interpretation aus der elementaren Zahlentheorie.

Intuition modulare Äquivalenz von Elementen in allgemeinen Gruppen mit Element in Untergruppe (Herstein)
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