Verwendung von Gruppenaktionen zur Untersuchung der Produktgröße von zwei Untergruppen

In Beachy und Blairs 3. Ausgabe von Abstract Algebra wird das folgende Problem gegeben:

Lassen$H$Und$K$Untergruppen der Gruppe sein$G$, und lass$S$sei die Menge der linken Nebenmengen von$K$. Definieren Sie eine Gruppenaktion von$H$An$S$von$a \cdot (xH) = ax K$für$a \in H$Und$x \in G$. Unter Berücksichtigung der Umlaufbahn von$K$Zeigen Sie unter dieser Aktion, dass$|HK| = \frac{|H||K|}{H \cap K}$

Erstens denke ich, dass es sich um einen Tippfehler handelt, die Aktion$H$An$K$-Cosets sein sollte$a \cdot (xK) = axK$. Zweitens kann ich anscheinend nicht das gewünschte Ergebnis erzielen, wenn ich die Umlaufbahn von studiere$K$. Ich bekomme:

$$\mathcal{O}(K) = \{ hK \ | \ h \in H \}$$ für $hK = h'K$wir brauchen $h'h^{-1} \in K$Wo $h,h' \in H$somit $h'h \in H \cap K$was gibt $h(H \cap K) = h'(H \cap K)$. So scheint es mir, es gibt $|H \cap K|$-Vertreter für jeden $K$coset, kurz gesagt, $$|\mathcal{O}(K) = \{ hK \ | \ h \in H \}| = \frac{|H|}{|H \cap K|}.$$ Andererseits ist der Stabilisator von $K$Ist $$G_K = \{ h \in H \ | \ hK = K \} = H \cap K$$ Das Orbit-Stabilisator-Theorem ergibt also $$|H| = |\mathcal{O}(K)||G_K| = \frac{|H|}{|H \cap K|}|H \cap K| = |H|.$$ Richtig, aber keine Verwendung für das gewünschte Ergebnis, das die Größe beschreibt $HK$.

Frage: Wie zeigen wir$|HK| = \frac{|H||K|}{H \cap K}$indem man die Theorie der Gruppenwirkung auf die gegebene Gruppenwirkung von anwendet$H$An$G/K$?

Mein Ansatz ist nicht zielführend. Natürlich weiß ich, dass dieses Problem ohne Gruppenaktionen gelöst werden kann (siehe zum Beispiel Dummit und Foote Seite 93, Prop 13). Wenn meine Umlaufbahn oder mein Stabilisator falsch sind, teilen Sie mir bitte den Fehler meiner Wege mit. Vielen Dank im Voraus für Ihre Erkenntnisse.