Wie beweise ich, dass es eine Bijektion gibt?

ich habe folgendes Problem und hänge etwas fest.

Lassen$G$eine endliche Gruppe sein, die auf wirkt$X$. Wir betrachten zunächst den Fall$X=G/H$Wo$H$ist eine Untergruppe von$G$. Hier betrachten wir die natürliche Aktion

$$G\times G/H \rightarrow G/ H,\,\,(g,xH)\mapsto gxH.$$ Wir führen zusätzlich die folgende Menge ein $$E=\{(g,k)\in G\times G\mid k^{-1}gk\in H\}.$$ Dann haben wir die folgenden zwei Funktionen$p_1,p_2:E\rightarrow G$mit$p_1(g,k)=g$Und$p_2(g,k)=k$. Das muss ich zeigen$p_2$ist surjektiv und für$k\in G$Dazwischen gibt es eine Bijektion$p_2^{-1}(k)$und die Untergruppe$kHk^{-1}$.

Ich hätte dies wie folgt gemacht: (i) Let$k\in G$, das merken wir$(1,k)\in E$, das heißt, wir haben ein Element in E gefunden, so dass$p_2(e,k)=k$. Das wiederum bedeutet das$p_2$ist surjektiv.

(ii) Wir müssen nun eine Bijektion finden$\phi:p_2^{-1}(k)\rightarrow kHk^{-1}$. Hier weiß ich nicht, wie ich das genau auswählen soll, irgendwie muss ich die Surjektion von verwenden$p_2^{-1}(k)$G und dann sehen, dass ich eine Spritze dazu finde$kHk^{-1}$oder nicht?

Könnte mir hier jemand helfen? Vielen Dank!