Beweis (g,x)↦x∗g−1(g,x)↦x∗g−1(g,x) \mapsto x * g^{-1} ist eine Linksgruppenwirkung.

Ich bin etwas verwirrt mit Gruppenaktionen. Ich muss beweisen, dass die Karte ( G , X ) ↦ X ∗ G − 1 ist eine linke Gruppenaktion. Ich habe bereits bewiesen, dass es sich um eine Gruppenaktion handelt, indem ich die Tatsache verwendet habe, dass sie assoziativ ist und ein Identitätselement enthält. Wie beweise ich, dass es sich um eine linke Gruppenaktion handelt? Irgendwelche Ideen?

Sind die Operationen in G ∘ X ↦ X ∗ G − 1 , ∘ Und ∗ das gleiche?
Entschuldigung, die Operation sollte sein: ( G , X ) ↦ X ∗ G − 1
Hinweis: ( G H ) − 1 = H − 1 G − 1 .
Unter Bezugnahme auf das Gesetz der Linksaufhebung behaupte ich, dass diese Linksaktion eine Eigenschaft eines Elements ist , das in der Gruppe ist
Wenn ich Ihre Frage richtig verstehe, dann ist die Antwort einfach. Es ist eine linke Gruppenaktion, weil es eine Gruppenaktion ist, in der die G befindet sich auf der linken Seite X . Eine linke Gruppenaktion einer Gruppe G auf einem Satz X ist eine Karte G × X → X , und eine rechte Gruppenaktion ist eine Karte X × G → X .

Antworten (3)

Lassen Sie uns eine Aktion als Funktion schreiben A : G × X → X .
Dann für A Um eine linke Aktion zu sein, muss sie befriedigen A ( G , A ( H , X ) ) = A ( G H , X ) .
Im Gegensatz dazu befriedigen richtige Handlungen A ( G , A ( H , X ) ) = A ( H G , X ) .
(Tatsächlich werden richtige Handlungen normalerweise als geschrieben B : X × G → X befriedigend H ( H ( X , G ) , H ) = H ( X , G H ) um es eher wie ein Assoziativitätsgesetz aussehen zu lassen.

Für Ihre Frage müssen Sie also zeigen:

A ( G , A ( H , X ) ) = A ( G , X ∗ H − 1 ) = X ∗ H − 1 ∗ G − 1 = X ∗ ( G H ) − 1 = A ( G H , X )
Also selbst wenn die G rechts 'erscheint', handelt es sich in der Tat um eine linke Aktion.

Wenn X ∗ G ist eine (richtige) Handlung (" H j P . "), Dann G ⋅ X := X ∗ G − 1 ist eine linke Aktion. In der Tat:

  1.     e ⋅ X = X ∗ e − 1 = X ∗ e = H j P . X ,   ∀ X ∈ X ;

  2. ( G H ) ⋅ X = X ∗ ( G H ) − 1 = X ∗ ( H − 1 G − 1 ) = H j P . ( X ∗ H − 1 ) ∗ G − 1 = G ⋅ ( X ∗ H − 1 ) = G ⋅ ( H ⋅ X )

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Hier nimmt unsere Abbildung eine geordnete Menge aus dem kartesischen Produkt G   ∗   X zu einem Element in der Menge X , ( G , X ) := X G − 1

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Lassen wir das Mapping ( G , X ) ↦ X ∗ G − 1 sei eine linke Gruppenaktion von G auf S.

Dann können wir durch genau diese Annahme jetzt sagen, dass die Abbildung die Axiome der Aktionen der linken Gruppe erfüllen muss .

PS Wenn Ihre Abbildung die Axiome der Aktionen der linken Gruppe erfüllt, impliziert dies dies

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Hm, ich glaube, ich mache es ein bisschen schwieriger, als es sein sollte, aber ist es etwa so: ( G , X ) = ( H , X ) ⟹ X G − 1 = X H − 1 ⟹ G − 1 = H − 1 ⟹ G = H ⟹ G X = H X ?
Nein, er kann nicht wie der linke Entwertungsnachweis angegangen werden. Je mehr ich die Definition der linken Gruppenaktion lese, desto mehr stimme ich dem zu.
@Josephine Was sind die Sätze G und S, die dir gegeben wurden?
Was meinst du? Ich weiß nur, dass G eine Gruppe ist und X eine allgemeine Sammlung von Dingen, nichts Spezifisches. Ich schätze, sie wollen nur, dass ich über die Definition linker Gruppenaktionen nachdenke und mich das erkennen lasse G X := X G − 1 , aber es fällt mir schwer, es zu sehen
@Josephine, keine Sorge, dieses "Sehen" muss kein visuelles Sehen sein, wie das Betrachten der Berge, sondern das Sehen einer axiomatischen Anwendung wie eine widerlegende Argumentation. Weiter so, G ist eine Gruppe und S (hier X) ist eine Menge und die Abbildung (Regel) ist das G X := X G − 1 .
Ich füge meiner Antwort eine weitere Definition hinzu
@Josephine, wenn Sie mit Argumenten unterstützen, dass die Zuordnung Kompatibilitätsaxiome erfüllen würde, würden Sie auch Antworten von #ancientmathematics aufgreifen.
Beweis (g,x)↦x∗g−1(g,x)↦x∗g−1(g,x) \mapsto x * g^{-1} ist eine Linksgruppenwirkung.
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v