Einheit eines monoiden Objekts in einer monoiden Kategorie

Wie es oft der Fall ist, kann es ein guter Ansatz sein, zuerst ein monoides Objekt in der Kategorie der kartesischen Monoide zu betrachten$\mathsf{Set}$. Hier ist das Einheitsobjekt der monooidalen Struktur durch die Singleton-Menge gegeben$\{*\}$. Daher gegeben ein Monoid-Objekt$(M,m,u)$In$\mathsf{Set}$, die Einheit$u:\{*\}\rightarrow M$wählt einfach das Einheitselement der Multiplikationsoperation aus.

Ein weiteres Beispiel sind die monooidalen Kategorien$\mathsf{Mod}_R$von Moduln über einem kommutativen Ring$R$und Tensorprodukte vorbei$R$(ein Modul im Wesentlichen ein Vektorraum über einem Ring). Dies ist die richtige Einstellung Ihrer beiden Beispiele, da$\mathsf{Ab}=\mathsf{Mod}_\mathbb{Z}$Und$\mathsf{Vect}_K = \mathsf{Mod}_K$. Hier ist das Einheitsobjekt keine Singleton-Menge mehr, sondern der Ring$R$betrachtet als$R$-Modul über sich selbst. Während diese potenziell unendlich viele Elemente haben könnte, weist die Ringstruktur auf$R$ergibt ein eindeutig bestimmtes Element$1_R$und die Axiome für einen Morphismus von Modulen erzwingen diesen einen Morphismus von Modulen$R \rightarrow M$wird eindeutig durch sein Bild von bestimmt$1_R$. In diesem Sinne die Einheit Morphismus$u:R \rightarrow A$eines monoiden Objekts$(A,m,u)$In$\mathsf{Mod}_R$bestimmt ein Einheitselement der$R$-Algebra-Multiplikation$m:A \otimes_R A \rightarrow A$.

Wie der Name schon sagt, die Einheitskarte$\eta$wählt die Einheit des Monoids aus$M$, also im ersten Beispiel die Karte$k\to M$wird durch Absenden bestimmt$1\in k$zur multiplikativen Einheit der$k$-Algebra$M$, und ebenso für das zweite Beispiel.

Es gibt bereits gute Antworten auf die spezifische gestellte Frage, aber ich denke, es könnte hilfreich sein, eine allgemeinere Vorstellung davon hinzuzufügen, wie man an Karten denkt$I\to X$für$I$das Einheitsobjekt in einer monooidalen Kategorie und$X$jedes Objekt der monooidalen Kategorie.

Notation

Lassen Sie uns die Notation einrichten. Ich werde es für meine Bequemlichkeit leicht modifizieren (ich mag Kleinbuchstaben, also ändere ich die Identität der Kategorie so, dass sie 1 heißt, damit es nicht komisch aussieht). Lassen$(C,\otimes,1)$sei eine monooidale Kategorie, Objekte in$C$werden Kleinbuchstaben sein,$x,y,z,w,\cdots$. Die Homs rein$C$aus$x$Zu$y$bezeichnet sind$C(x,y)$.

Wie denken wir an$C(1,x)$?

Wir sollten an denken$C(1,x)$als "der zugrunde liegende Satz" von$x$. Warum ist das sinnvoll? Nun, erstens,$C(1,-)$ist ein Funktor aus$C$Zu$\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$.

Darüber hinaus respektiert dieser Funktor die monooidale Struktur (es ist ein laxer monooidaler Funktor ), da wir kanonische Karten haben

Darüber hinaus erfüllen diese Karten bestimmte Assoziativitäts- und Einheitlichkeitsbedingungen, die Sie auf der verlinkten nlab-Seite finden.

Mit anderen Worten, die Operation „Nimm die zugrunde liegende Menge“ hat gute Eigenschaften, und sie kommt tatsächlich häufig in der Theorie der angereicherten Kategorien vor, aber ich belasse es vorerst dabei.

Warum sollten wir dies als die zugrunde liegende Menge betrachten und nicht als eine andere assoziierte Menge?

Nun, die kurze Antwort lautet, dass in vielen Beispielen$C(1,x)$gibt den tatsächlichen zugrunde liegenden Satz von zurück$x$, wo dies sinnvoll ist. Hier sind einige Beispiele:

$R$-Module:

Wenn$R$ist ein kommutativer (einheitlicher) Ring (wie$\Bbb{Z}$oder ein Feld), dann die Kategorie von$R$-Module ist mit einem Tensorprodukt ausgestattet, das es zu einer monooidalen Kategorie macht, deren Einheit ist$R$gilt als ein$R$-Modul.

Dann haben wir einen wohlbekannten natürlichen Isomorphismus

Mengen, topologische Räume, etc:

Für Mengen und topologische Räume geben wir der Kategorie die kartesische monooidale Struktur, und das Endobjekt ist der Punkt,$\{*\}$. Morphismen vom Punkt zu einer Menge oder einem topologischen Raum entsprechen bijektiv der zugrunde liegenden Punktmenge unserer Menge oder unseres Raums.

Garben/Vorgarben

In ähnlicher Weise verwenden wir für (Vor-)Garben von Mengen auch die kartesische Monoidstruktur, und Morphismen vom Terminalobjekt zu einer (Vor-)Garbe entsprechen globalen Abschnitten der (Vor-)Garbe.

Kommentar Es könnte auch hilfreich sein, diese Perspektive beizubehalten$C(1,-)$wobei auch die globalen Abschnitte im Auge behalten werden.

Beziehen wir dies zurück auf den Einheitsmorphismus

(Dies wurde bereits in anderen Antworten erklärt, daher werde ich mich kurz fassen.)

Die Art und Weise, wie Sie über die Karte nachdenken sollten$\eta : 1\to m$ist wie das Herausgreifen des Einheitselements von$m$. Genau wie bei einem Monoid$\Set$, müssen wir wissen, was die Einheit eines Monoids ist$C$ist und$\eta$sagt uns.