Wenn eine Funktion eins-zu-eins ist, aber nicht auf, hat sie unendlich viele linke Inverse?

Die Frage, die ich habe, fragt, ob eine Funktion vorhanden ist$f: A \rightarrow A$ist eins-zu-eins, aber nicht auf, es hat mindestens zwei linke Inverse. Ich habe ausgearbeitet, was ich für eine Lösung halte, aber was ich gefunden habe, unterscheidet sich geringfügig von dem, was die Frage stellt.

Beachten Sie zunächst, dass die Funktion abbildet$A$auf sich selbst und es ist eineindeutig, aber nicht auf, kann man annehmen, dass A keine endliche Menge ist. Als nächstes lassen$i,j \in \mathbb{N}$und lass$x_i \in A$ein festes Element in A sein, so dass wenn$i \neq j$Dann$x_i \neq x_j$. Nun lass$n \in \mathbb{N}$und definieren$g_n: A \rightarrow A$folgendermaßen:

1. Lassen$a,b \in A$. Wenn$f(a)=b$dann lass$g_n(b)=a$. Beachten Sie, dass dies seit gut definiert ist$f$ist eins zu eins.
2. Wenn wegen$b \in A$,$\nexists a \in A$so dass$f(a)=b$, lassen$g_n(b)=x_n$

Diese Funktion ist eine gültige linke Inverse$\forall n \in \mathbb{N}$seit wenn$f(a)=b$, wir haben das$g_n(f(a))=g_n(b)=a$.

Seit$f$eingeschaltet ist, muss es mindestens eine geben$b$das erfüllt die zweite Regel. Auch seit$A$muss eine unendliche Menge sein,$x_n$müssen definiert werden$\forall n \in \mathbb{N}$. Das bedeutet, dass$g_n$müssen ebenfalls definiert werden$\forall n \in \mathbb{N}$, also gibt es unendlich viele Linksinverse.

Ich verstehe, dass eine unendliche Anzahl von Umkehrungen technisch immer noch mindestens zwei Umkehrungen sind, aber diese Formulierung hat mich zu der Annahme veranlasst, dass ich hier etwas falsch gemacht habe, und wenn meine Argumentation irgendwelche Fehler enthält, wäre es fantastisch, wenn jemand sie zeigen könnte aus.

Danke.

BEARBEITEN

Das habe ich abgegeben, wofür ich volle Punktzahl bekommen habe:

Lassen$A$sei eine solche Menge$A \neq \emptyset$und lass$f \in F_A$eine Funktion sein, das heißt$f: A \rightarrow A$. Vermuten$f$ist injektiv, aber nicht surjektiv. Beachten Sie, dass dies bedeutet$A$muss unendlich gesetzt sein. Als nächstes lassen$i,j \in \mathbb{N}$und lass$x_i \in A$ein festes Element in A sein, so dass wenn$i \neq j$Dann$x_i \neq x_j$. Nun lass$n \in \mathbb{N}$und definiere die Familie der Funktionen$g_n: A \rightarrow A$folgendermaßen:

1. Wenn wegen$b \in A$,$\exists a \in A$so dass$f(a)=b$dann lass$g_n(b)=a$. Beachten Sie, dass dies seit gut definiert ist$f$ist injektiv, also$a$wird immer einzigartig sein.
2. Wenn wegen$b \in A$,$\nexists a \in A$so dass$f(a)=b$, dann lass$g_n(b)=x_n$.

Nun lass$a,b \in A$so dass$f(a)=b$. Nach Regel i. für$g_n$, wir haben das$g_n(b)=a$, So$g_n \circ f(a)=g(f(a))=g(b)=a=\iota (a)$. Seit$g_n \circ f=\iota$,$g_n$ist eine linke Umkehrung von$f$, unabhängig vom Wert von$n$da wir Regel ii nicht angewendet haben. der Definition von$g_n$.

Wie wir bereits bemerkt haben,$A$muss also eine unendliche Menge sein$x_n$müssen definiert werden$\forall n \in \mathbb{N}$, somit$g_n$müssen ebenfalls definiert werden$\forall n \in \mathbb{N}$.

Zuletzt werden wir zeigen, dass keine zwei Linksinversen nach dieser Definition gleich sein können, denn wenn$g_1=g_2=g_3=\ldots$dann gäbe es nur eine linke Inverse.. Let$i,j \in \mathbb{N}$so dass$i \neq j$und lass$b \in A$so dass$\nexists a \in A$Wo$f(a)=b$, was seit möglich ist$f$ist nicht surjektiv. Nach Regel ii. für$g_n$,$g_i(b)=x_i$Und$g_j(b)=x_j$. Seit$i \neq j$, Dann$x_i \neq x_j$, somit$g_i \neq g_j$.$\therefore$Seit$f$hat unendlich viele Linksinverse in$F_A$,$f$hat mindestens zwei verschiedene linke Inverse$F_A$.