Den Grad und die Koeffizienten des Polynoms finden

Ein Polynom wird mit bezeichnet F ( X ) . Die Koeffizienten des Polynoms sind positive ganze Zahlen.

F ( 1 ) = 17
F ( 20 ) = 421350
Können Sie sagen, ob ein solches Polynom möglich ist? Wenn ja, finden Sie den Grad des Polynoms und auch seine Koeffizienten.

Meine Schlussfolgerung: Verwenden F ( 20 ) = 421350 wir können bestimmen, dass der Grad des Polynoms nicht überschritten werden kann 4 . Da außerdem jeder Koeffizient positiv ist, also jeder einzelne Koeffizient < 17 . Der konstante Koeffizient unabhängig von X Ist 10 . Seit 421350 -Konstante Term sollte durch teilbar sein 20 .

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Beachte das für jedes Polynom P mit ganzzahligen Koeffizienten und beliebigen ganzen Zahlen A Und B , P ( A ) − P ( B ) ist teilbar durch A − B . Das ist weil A k − B k ist teilbar durch A − B .

Also, wenn es ein Polynom gibt F ( X ) mit den angegebenen Werten dann 421350 − 17 muss durch teilbar sein 19 . Aber das ist es nicht. Also existiert kein solches Polynom, auch ohne die Positivitätsbeschränkung.

ausgezeichnete antwort!
Also das Polynom existiert nicht.
@AdwaitKumar: Das stimmt. Zu fragen, ob die Koeffizienten positiv sind, war ein fieser kleiner Trick, der das Problem schwieriger erscheinen lässt, als es ist.
Ich sehe den Zusammenhang nicht. Was ich geschrieben habe ist, dass wenn F ( 20 ) = 421350 Und F ( 1 ) = 17 , Wo F ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist, dann 20 − 1 teilen muss 421350 − 17 . Dies ist nicht der Fall, was bedeutet, dass es kein solches Polynom gibt F ( X ) .

Rohe Gewalt. Nehmen Sie Ihren konstanten Koeffizienten 10 und sehen Sie sich an

F ( 20 ) − 10 20 = 21 067
Dies ergibt den Koeffizienten von X als 7. Die Summe der bisherigen Koeffizienten beträgt 17, was gegeben ist durch F ( 1 ) , aber Sie benötigen höhere Bedingungen, um zu erhalten F ( 20 ) Rechts.

Kann die Person, die dies abgelehnt hat, bitte erklären, warum. Dies ist eine durchaus vernünftige Art, die Positivität und Integralität der Koeffizienten zu nutzen - die Methode im ursprünglichen Beitrag zu erweitern, die ich vorgeschlagen habe, weil sie möglicherweise verdeutlichen könnte, warum die Frage so gestellt wurde (z. B. um zu vermeiden, dass der Ansatz bemerkt wird André Nicholas hat seine Antwort gegeben, indem er die Positivität zum Arbeiten gebracht hat).
Stimme voll und ganz zu. Ich habe natürlich positiv gestimmt, aber das negiert nur teilweise die Wirkung der falschen Ablehnung.
Den Grad und die Koeffizienten des Polynoms finden
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