Beweisen Sie, dass Äquivalenzklassen die Fasern von fff sind

Lassen F : A → B sei eine surjektive Abbildung zweier nichtleerer Mengen A Und B . Wir definieren A ∼ B Wenn F ( A ) = F ( B ) . Beweisen Sie, dass dies eine Äquivalenzrelation mit den Fasern von ist F als ihre Äquivalenzklassen.

Hier mein Beweisversuch:

Seit F ist eine Funktion, ∀ A ∈ A , F ( A ) = F ( A ) , und deshalb haben wir Reflexivität. Gegeben A , B ∈ A , Wenn A ∼ B , F ( A ) = F ( B ) , Bedeutung B ∼ A , also haben wir Symmetrie. Gegeben A , B , C ∈ A , Wenn A ∼ B Und B ∼ C , F ( A ) = F ( B ) , Und F ( B ) = F ( C ) , So F ( A ) = F ( C ) Dann A ∼ C . Also haben wir Transitivität. Die Faser von F ist definiert als F − 1 ( B ) = { A ∈ A |   F ( A ) = B } , für einige B ∈ B . Eine Äquivalenzklasse ist als Teilmenge des Formulars definiert { A 1 ∈ A |   A 1 ∼ A 2 } , für einige A 1 , A 2 ∈ A . Die Faser von F enthält alles A ich ∈ A so dass F ( A ich ) = B , sind also Äquivalenzklassen der Ähnlichkeit.

Ich möchte wissen, ob es welche gibt

1 ) Etwaige Korrekturen, die vorgenommen werden müssen, und

2 ) Bessere Formulierung für den Beweis.

Vielen Dank im Voraus.

Antworten (1)

Der erste Teil scheint in Ordnung zu sein. Ich würde irgendwo schreiben, wie Sie die Tatsache wirklich nutzen, dass " = " ist eine Äquivalenzrelation, um jeden der Schritte zu erhalten. Außerdem wäre es besser, explizit zu zeigen, dass Sie beispielsweise den Sprung machen F ( A ) = F ( B ) Und F ( B ) = F ( C ) Zu F ( A ) = F ( C ) vor dem Abschluss A ∼ C .

Für den zweiten Teil ist es nicht klar, was Sie sagen. Schreiben Sie auf, was Sie beweisen wollen. Hast du auch Surjektivität verwendet? Wenn nein, warum ist das dann eine Hypothese?

Sie werden gebeten, zu zeigen, dass die Fasern von F sind die Äquivalenzklassen dieser Relation. Das bedeutet, dass wir beweisen müssen, dass jede Faser von F ist eine Äquivalenzklasse, und jede Äquivalenzklasse ist eine Faser.

Lassen B ∈ B und betrachten Sie die Faser F − 1 ( B ) . Wir wollen zeigen, dass dies die Äquivalenzklasse eines Elements von ist A . Aber welches Element? Details im Spoiler:

Seit F ist auf, es existiert A ∈ A so dass F ( A ) = B . Dann die Äquivalenzklasse [ A ] von A gleich F − 1 ( B ) . Tatsächlich haben wir C ∈ [ A ] iff C ∼ A iff F ( C ) = F ( A ) iff F ( C ) = B iff C ∈ F − 1 ( B ) .

Umgekehrt lassen A ∈ A und betrachte die Äquivalenzklasse [ A ] von A . Wir wollen zeigen, dass dies die Faser eines Elements in ist B unter F . Aber welches Element? Details im Spoiler:

Das behaupten wir [ A ] entspricht der Faser F − 1 ( F ( A ) ) von F ( A ) unter F . Dies folgt, weil C ∈ [ A ] iff C ∼ A iff F ( C ) = F ( A ) iff C ∈ F − 1 ( F ( A ) ) .

Vielen Dank für die ausführliche Antwort – ich bin mir nicht sicher, wie ich den Sprung weiter erklären soll F ( A ) = F ( B ) , F ( B ) = F ( C ) → F ( A ) = F ( C ) . Kann ich einfach meinen ursprünglichen Satz verwenden, wenn ich sage, dass " = „ ist eine Äquivalenzrelation?
@高田航 Es tut mir leid! Nachdem ich Ihren Beweis noch einmal gelesen habe, ist mir aufgefallen, dass Sie tatsächlich geschrieben haben F ( A ) = F ( C ) . Wenn Sie Symmetrie beweisen, machen Sie den Sprung F ( A ) = F ( B ) Zu B ∼ A ohne es vorher zu merken F ( A ) = F ( B ) . Es ist nicht notwendig, jeden kleinen Schritt aufzuschreiben, aber es macht den Beweis leichter nachzuvollziehen. Später in Ihrer mathematischen Laufbahn können Sie damit durchkommen, so etwas wie „Reflexivität von“ zu sagen ∼ folgt durch Reflexivität von = ", und ebenso für die anderen Eigenschaften, aber im Moment ist es besser, vorsichtig zu sein und jeden Schritt explizit anzuzeigen.
Ah verstehe, vielen Dank. Eine letzte Sache noch: Muss ich die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen beweisen für " = ", oder kann die Definition von " = " angenommen werden?
@高田航 Die Axiome, die " = „Machen Sie es zu einer Äquivalenzrelation, also ist es nichts, was Sie beweisen werden (oder können).
Ok, danke nochmal für die ausführliche Antwort.
Beweisen Sie, dass Äquivalenzklassen die Fasern von fff sind
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