Eine Äquivalenzbeziehung: Selbstbeobachtung in einen bestimmten wohldefinierten Quotienten

$v$ist wohldefiniert, wenn sie unabhängig von der Darstellung des Bruchs ist$\frac{a}{b}$

Lassen$a=2^km$Und$b=2^lm'$Und$d=2^s m''$Dann

$$v\left(\frac{a}{b}\right)=f(a)-f(b)=k-l$$ Und $$v\left(\frac{da}{db}\right)=f(da)-f(db)=(k+s)-(l+s)=k-l$$ So $v$ist gut definiert.

Daran erinnern, dass wir erhalten$\Bbb Q$indem Sie den Satz zitieren$\Bbb Z\times (\Bbb Z-\{0\})$mit der Äquivalenzrelation

$$(a,b)\sim (a',b')\iff ab'=a'b$$

Dies deutet darauf hin, dass wir sehen sollten$v$als Karte

$$\nu:\Bbb Z\times (\Bbb Z-\{0\})\to\Bbb N$$ definiert als $$\nu(a,b)=f(a)-f(b)$$

und wir sollten das beweisen (oder widerlegen).$ab'=a'b\implies \nu(a,b)=\nu(a',b')$.

Beachten Sie, dass wenn$m$ist ungerade,

$$\nu(mn,mk)=\nu(n,k)$$ seit $\text{odd}\times \text{odd}=\text{odd}$. Ebenso, wenn $m=2^j$ist gerade, $$\nu(2^jn,2^jk)=j+f(n)-(j+f(k))=f(n)-f(k)=\nu(n,k)$$

Da dies alle möglichen Änderungen am Paar berücksichtigt$n,k$, wir fassen zusammen$\nu$ist wohldefiniert.

OBS $\nu(a,b)$gibt einfach den Exponenten von zurück$2$(negativ oder positiv) ein

$$\frac{a}{b}$$

Nehme an, dass$a/b=c/d$ $\Leftrightarrow$ $ad=bc$. Schreiben$a=2^mm'$,$b=2^nn'$,$c=2^pp'$,$d=2^qq'$, Wo$m',n',p',q'$sind ungerade ganze Zahlen. Wir haben$2^{m+q}m'q'=2^{n+p}n'p'$. Aus der Eindeutigkeit der Zerlegung ganzer Zahlen als Produkt von Primzahlen (bis auf ein Vorzeichen) erhalten wir$m+q=n+p$, und deshalb$v(a/b)=m-n=p-q=v(c/d)$.

Anmerkung. Dies ist der übliche Weg, um eine Bewertungsfunktion auf einen Integralbereich (in diesem Fall$\mathbb Z$) zu einer Bewertung (der$2$-adische Bewertung) auf seinem Gebiet der Brüche ($\mathbb Q$).