Was ist die intuitive Motivation, Äquivalenzbeziehungen mit den Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zu definieren?

Ich versuche zu verstehen, warum Äquivalenzbeziehungen mithilfe der drei Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität definiert werden.

Anhand eines Beispielsatzes von S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }

Eine gute erste Intuition scheint mir folgende zu sein:

Reflexiv

Die reflexive Eigenschaft einer Äquivalenzrelation sorgt grundsätzlich dafür, dass jedes Element der untersuchten Menge partitioniert werden kann (dh eine eigene Äquivalenzklasse besetzen kann).

Hätten wir zum Beispiel R 1 eine Beziehung sein auf S definiert als X − j ist teilbar durch 10 , dann, weil ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , e T C sind Ordnungspaare, die alle befriedigen R 1 , erhalten wir am Ende 10 verschiedene Äquivalenzklassen ( e . G . [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] , e T C ) . Daher werden alle Elemente partitioniert ... was sinnvoll ist, da jedes dieser Elemente M Ö D ( 10 ) haben einen eindeutigen Rest ... nämlich 1 , 2 , 3 , e T C

Transitiv

Die transitive Eigenschaft einer Äquivalenzrelation ermöglicht es Ihnen im Grunde, alle Elemente, die zu derselben Äquivalenzklasse gehören, "unidirektional" (meine Bedeutung wird in Kürze verstanden) zu verknüpfen.

Hätten wir zum Beispiel R 2 eine Beziehung sein auf S definiert als X − j ist teilbar durch 2 , dann sind die folgenden geordneten Paare (nicht erschöpfend) sicherlich in der Menge: ( 2 , 4 ) , ( 4 , 6 ) , ( 6 , 8 ) . Tu so, als ob ich keine anderen geordneten Paare kenne.

Nun, wenn ich als mein repräsentatives Element wähle [ 2 ] , kann ich meine Äquivalenzklasse aufbauen, indem ich mit beginne 2   R 2   N . Also, ( 2 , 4 ) ist in R 2 Deshalb, 4 gehört zur gleichen Äquivalenzklasse wie 2 . Was funktioniert mit 4   R 2   N ? Also ( 4 , 6 ) ist in R 2 und deshalb 6 ist in der gleichen Äquivalenzklasse wie 2 Und 4 .

Nehmen wir jedoch an, ich beginne mit [ 8 ] anstatt [ 2 ] . Welches der Elemente in set S sind in der gleichen Äquivalenzklasse? Nämlich für welchen Wert von N Ist 8   R 2   N WAHR? Nun, ich weiß, dass ich das bestellte Paar habe ( 6 , 8 ) ...aber das ist nicht die gleiche Form wie 8   R 2   6 . Wenn ich das nur wüsste ( 8 , 6 ) war auch im Set beschrieben R 2 ... und hier kommt die Symmetrie ins Spiel.

Symmetrisch

Die Symmetrieeigenschaft einer Äquivalenzrelation in Verbindung mit der transitiven Eigenschaft ermöglicht es Ihnen, alle Elemente einer Äquivalenzklasse bidirektional zu verknüpfen (unabhängig davon, welches 'Startelement' Sie zur Darstellung Ihrer Äquivalenzklasse wählen).

Wenn ich beispielsweise die Symmetrieeigenschaft in das obige Transitivitätsbeispiel einbeziehe, weiß ich jetzt, dass wenn ( 2 , 4 ) , ( 4 , 6 ) , Und ( 6 , 8 ) sind in meinem R 2 einstellen, dann weiß ich das auch ( 4 , 2 ) , ( 6 , 4 ) , Und ( 8 , 6 ) sind in meinem R 2 Satz. Wenn mich also jemand fragt, wozu die anderen Elemente gehören [ 8 ] , kann ich ohne zu zögern sagen 2 , 4 , Und 6 .

Sind dies die richtigen Wege (auf einer sehr grundlegenden Ebene), um die Motivation hinter der Verwendung dieser 3 Eigenschaften zur Definition von Äquivalenzbeziehungen intuitiv zu verstehen?

Ich würde intuitiv sagen, dass diese Eigenschaften die Eigenschaften der Gleichheit nachahmen.
Als Folge der reflexiven, symmetrischen und transitiven Eigenschaften liefert jede Äquivalenzbeziehung eine Aufteilung der zugrunde liegenden Menge in disjunkte Äquivalenzklassen
Die Idee ist, dass die Beziehung den Begriff „gleich“ in einem bestimmten Sinne erfasst. Sicherlich ist jedes Objekt das "selbe" wie es selbst (so reflexiv). Wenn A ist das gleiche wie B , dann durch das Konzept der "Gleichheit", B sollte das "gleiche" sein wie A (so symmetrisch). Ebenso, wenn A ist das gleiche wie B , Und B ist das gleiche wie C , dann durch das Konzept der "Gleichheit", A sollte das "gleiche" sein wie C (also transitiv).
Gibt es nur 3 Möglichkeiten, Gleichheit grundlegend zu beschreiben? Diese 3 Eigenschaften müssen eindeutig "spezieller" sein als andere Arten der Gleichheitsdefinition.
Eine bessere Art, meine Verwirrung zu formulieren, ist "warum brauche ich alle 3". Was wird ausgelassen, wenn meine Relation nur die Eigenschaften symmetrisch und transitiv hat? Was wird ausgelassen, wenn meine Relation nur die Eigenschaften transitiv und reflexiv hat? (usw)
Der ≤ Relation auf den ganzen Zahlen ist relexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch. So haben Sie zum Beispiel 3 ≤ 5 , aber Sie würden nicht betrachten wollen 3 als "äquivalent" zu 5 .
Sicher, ich verstehe diese "wörtlichen" Beispiele. Aber ich sehe nicht die „abstrakten“ Konsequenzen. Wenn ich eine Beziehung habe, sagen wir die, die Sie gerade verwendet haben, die nicht symmetrisch ist, werden die resultierenden Partitionen KEINE Äquivalenzklassen sein? Ist das das eigentliche Problem? Oder ist das Problem, dass ich nicht einmal in der Lage sein werde, mein Set zu partitionieren.
Die Partitionierbarkeit ist eine Folge der Definition, nicht die Hauptmotivation. Überprüfen Sie den ersten Kommentar von Saulspatz und meinen ersten Kommentar. Äquivalenz ist eine Art „Gleichheit“. Das ist die Hauptmotivation.
Cool. Das ist sicherlich etwas Interessantes zu wissen. Als letzte Frage gibt es wirklich nur drei Möglichkeiten, Äquivalenz abstrakt zu definieren? Offensichtlich bringt jede dieser „Äquivalenzeigenschaften“ etwas „Anderes“ auf den Tisch. Gibt es absolut keine anderen Eigenschaften, die „Gleichheit“ imitieren, die ebenfalls auf den Tisch gebracht werden könnten?
Diese 3 Eigenschaften erfassen alles über "abstrakte" Gleichheit in dem Sinne, dass alles andere, was für das abstrakte Konzept gilt, von diesen impliziert wird 3 Eigenschaften.
Gibt es dafür einen Beweis? Oder ist es nur etwas, das axiomatisch akzeptiert wird? dh gibt es eine Möglichkeit nachzuweisen, dass diese 3 Kriterien den Gleichstellungsbegriff „vollständig“ beschreiben? Oder haben diese 3 ausgewählten Kriterien „so gut funktioniert“, dass keine neuen oder anderen Kriterien gefunden werden müssen?
Die Modellierung eines Konzepts durch Axiome erfordert keinen Beweis, sondern nur die Zustimmung, dass das Konzept sinnvoll modelliert ist. Aber als Test für Ihre potenzielle Übereinstimmung, können Sie sich irgendeine Eigenschaft vorstellen, die immer auf abstrakte Gleiche zutrifft, die nicht von diesen impliziert wird 3 Eigenschaften?
Weitere Motivation: Wenn wir die Folgen des Erzwingens von Gleichheit (Äquivalent) einiger Elemente betrachten wollen, läuft dies darauf hinaus, die kleinste Äquivalenzrelation zu betrachten, die die erzwungenen Gleichheiten enthält. Oft möchten wir, dass die Äquivalenzrelation weiter kompatibel mit umgebenden algebraischen Operationen ist, was zu einer sogenannten Kongruenz führt.

Antworten (2)

  1. Ihre Gedanken zu Reflexivität, Symmetrivität, Transitivität und Teilungen (insbesondere in den Kommentaren) sind grundsätzlich richtig und auf dem richtigen Weg.
    Wir können jedoch noch mehr Gesichtspunkte (alternative Definitionen, wenn Sie möchten) für „was ist eine Äquivalenzrelation“ in Betracht ziehen.

    Zum Beispiel eine Beziehung R ⊆ A × A ist eine Äquivalenzrelation genau dann, wenn
    a) R ist links euklidisch : A R C Und B R C impliziert A R B , und
    b) R ist seriell : die Domäne von R ist ganz A , dh für alle A ∈ A es existiert ein B ∈ A so dass A R B .

    Und wenn es in erster Linie so gelehrt wurde, würden Sie sich jetzt fragen, welche Bedeutung diese beiden Eigenschaften haben. Wenn wir sie getrennt studieren würden, würden wir zu ganz anderen Antworten kommen.

  2. Wie in den Kommentaren geschrieben, erfassen Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zusammen (oder sogar die beiden obigen Bedingungen) die grundlegendsten Eigenschaften der Gleichheitsbeziehung = .
    Das Grundkonzept hinter Äquivalenzbeziehungen ist das der Gleichheit .
    Informell gesprochen, R ist eine Äquivalenzrelation auf A ob es eine 'Art des Vergleichs' gibt, bezogen auf Elemente A Und B werden verglichen, um gleich zu sein, wenn A R B .

    Wir können es formell machen, indem wir eine Funktion einführen , die das zu vergleichende Attribut irgendwie „misst“. (Zum Beispiel kann man sich Farbe als Attribut und die entsprechende Äquivalenzrelation „die gleiche Farbe haben“ vorstellen.)

    Eine Relation R auf einem Satz A ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn es eine Funktion gibt F : A → X so dass A R B ⟺ F ( A ) = F ( B ) .

Ohhh, ich mag die Funktionsperspektive hier wirklich. Das macht die Struktur der „Äquivalenzklasse“ viel intuitiver.
Und am wichtigsten, bringt die Gleichheitsrelation (auf einem anderen Satz) rein.
@S.Cramer Siehe auch diese Antwort für weitere Informationen zu solchen Kernel- Äquivalenzbeziehungen (deren Klassen als Fasern, Levelsets / Kurven usw. bekannt sind) und allgemeiner zu Equalizern.

Sagen M ist eine Menge und ∼ ist eine Relation darauf ( Denken Sie daran, dass eine Relation R auf einem Satz S ist einfach eine Teilmenge R ⊆ S × S , und das ( A , B ) ∈ R wird auch geschrieben als A R B ). Jetzt ∼ führt sofort zu einer Sammlung C := { [ X ] : X ∈ M } von Teilmengen von M , Wo [ X ] := { j ∈ M : X ∼ j } .

Überhaupt die Sammlung C hat keine bestimmte Struktur. Wir können uns folgende Frage stellen: Unter welchen Arten von ∼ bekommen wir das hin C ist eine Partition von M , und das " ∼ kann aus der Kenntnis der Menge natürlich rekonstruiert werden C allein“ dh ∼= ∼ ' Wo A ∼ ' B ⟺ def ( A , B  gehören zum selben Element von  C ) ?

[Übrigens erinnern Sie sich an eine Partition einer Menge S ist nur eine Sammlung paarweise disjunkter nicht leerer Mengen, deren Vereinigung ist S ]

Es ist klar, so etwas ∼ sollten reflexiv, symmetrisch und transitiv sein, also reflexiv symmetrisch transitive Relationen (on M ) sind die einzigen potenziellen Kandidaten für ∼ . Es stellt sich heraus, dass jede reflexive symmetrische transitive Relation ausreicht: Let R sei eine reflexive symmetrische transitive Beziehung auf M . Dies ergibt eine Sammlung C von Klassen [ X ] = { j ∈ M : X R j } . Als X ∈ [ X ] , Elemente von C sind nicht leer und haben union M . Aus Symmetrie und Transitivität von R wir bekommen das "Wenn [ X ] ∩ [ j ] ≠ ϕ , Dann [ X ] = [ j ] ", dh dass Elemente von C sind paarweise disjunkt. Auch R = R ' Wo A R ' B ⟺ def ( A , B  gehören zum selben Element von  C ) .

Damit ist unsere Frage erledigt, Relationen, die reflexiv symmetrisch und transitiv sind, sind genau die, die wir gesucht haben. Diese werden auch als „Äquivalenzrelationen“ bezeichnet.

Edit : Spruch " ∼ ist gleich der natürlichen Gruppierungsbeziehung, die sich daraus ergibt C " anstatt " ∼ kann aus Wissen natürlich rekonstruiert werden C allein", wie in den Kommentaren betont, wäre angemessener gewesen.

Erzeugt die Vereinigung von C R? (dh ⋃ C = R ). (auch ... ich glaube du meintest ∅ anstatt ϕ )
Die Vereinigung der Mengenfamilie C ergibt M (nicht R). Und ja, ich denke, jede der Varianten ∅ , ∅ , ϕ , { } , usw. können sicher verwendet werden, um die Nullmenge zu bezeichnen.
Warum genau R = R ' Transitivität, Reflexivität und Symmetrie erfordern? Ich habe Ihre Kommentare so interpretiert: "Wenn zwei Beziehungen das Gleiche hervorbringen C und beide Relationen reflexiv, symmetrisch und transitiv sind, dann sind die beiden Relationen äquivalent." Ich verstehe jedoch nicht, warum Sie festlegen müssen, dass die Relationen reflexiv, symmetrisch und transitiv sind (wie ich beweisen konnte Das R = R ' ohne diese Eigenschaften aufzurufen)
Ich denke, Sie haben diese Situation im Sinn (korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege): R ist eine allgemeine Beziehung zu M. Jetzt wird C festgelegt, die Beziehung R' entsteht wie oben definiert. Sie sagen, R=R' gilt auch hier. Hier ist ein schnelles Gegenbeispiel. Nimmt man M = {1,2} und R = {(1,2), (2,1)} ergibt sich C = { {1} ( = [2] ) , {2} ( = [1] ) } woraus R' = { (1,1), (2,2) }.
Hmmm. Vielleicht verstehe ich das falsch, was Sie mit der Aussage sagen wollen: " ∼ kann aus der Kenntnis der Menge natürlich rekonstruiert werden C allein". Ich interpretierte dies so, dass es bedeutete: Für eine gegebene Menge C (definiert mit Ihrer obigen Notation) gibt es nur eine eindeutige Beziehung, nennen Sie sie ∼ , das verwendet werden kann, um es zu erzeugen ... dh wenn eine andere Beziehung ∼ ' kann auch zur Herstellung derselben verwendet werden C , Dann ∼ ' =∼ .
Ich glaube, ich sehe das Problem in meinem Beweis, wo ich fälschlicherweise behauptet habe, dass Sie Transitivität, Reflexivität und Symmetrie nicht brauchen, um R=R' zu beweisen. Danke für die Hilfe!
Nur für den Fall, dass Sie sich fragen: Ich möchte zeigen, dass das willkürlich ist ⟨ A , B ⟩ ∈ R ist auch dabei R ' (und zeigen Sie ohne Beschränkung der Allgemeinheit, dass eine willkürliche ⟨ A , B ⟩ ∈ R ' ist auch dabei R ). Also lass ⟨ A , B ⟩ ∈ R . Per Definition, B ∈ [ A ] R . Das wissen wir aus Vermutung C = C ' was das impliziert [ A ] R ∈ C ' . Wenn [ A ] R ∈ C ' ∧ B ∈ [ A ] R , Dann ∃ X ∃ j ( j ∈ R ' ∧ X ∈ M ∧ j = ⟨ X , B ⟩ ) . Nun, um das zu zeigen X ist genau A (was das bedeuten würde ⟨ A , B ⟩ ∈ R ' ), brauchen wir trans, symm und reflex.
Was ist die intuitive Motivation, Äquivalenzbeziehungen mit den Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zu definieren?
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