Wie beweist man, dass die Gleichheitsrelation eine Äquivalenzrelation ist?

Ist die Gleichheitsrelation nur eine Äquivalenzrelation nach Axiomen?
oder
Ist die Gleichheitsrelation beweisbar, dass sie eine Äquivalenzrelation ist?

Ich denke, die Antwort hängt von der genauen Bedeutung von "Gleichheit" ab.

Definition 1. Wir sagen, dass "$x$gleich$y$" und schreibe "$x=y$" unter der Vorraussetzung, dass "$x$Ist$y$", das ist, "$x$ist identisch mit$y$", das ist, "$x$Und$y$dieselbe Entität bezeichnen". In diesem Fall der Ausdruck$x=y$wird als „Gleichheit“ oder „Identität“ bezeichnet.

Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind dabei Axiome. Angesichts der gegebenen Definition sind sie ganz natürlich, weil es (nach unserer Intuition) klar ist, dass:

• alles ist mit sich selbst identisch.
• Wenn$x$ist identisch mit$y$, Dann$y$ist identisch mit$x$.
• Wenn$x$ist identisch mit einem Ding, das identisch ist mit$z$, Dann$x$ist identisch mit$z$.

Diese Idee der Gleichheit (Identität) entsteht, wenn wir unsere Schlußregeln definieren, die es uns ermöglichen, unsere Theoreme zu beweisen. Insbesondere auf dieser Ebene der Theorie müssen wir die einführen

Regel für Identitäten: Wenn$S$ist eine offene Formel, von$S$Und$t_1=t_2$, oder von$S$Und$t_2=t_1$wir können ableiten$T$, unter der Vorraussetzung, dass$T$Ergebnisse von$S$durch Ersetzen eines oder mehrerer Vorkommen von$t_1$In$S$von$t_2$. Außerdem die Identität$t=t$ist aus der leeren Prämissenmenge ableitbar. ( Abendmahlbuch, Kapitel 5 )

Diese Regel (zumindest nach dem Suppes-Ansatz, den ich für den elementarsten und gebräuchlichsten halte) wird als Teil unserer grundlegenden Prädikatenlogik erster Ordnung betrachtet, wobei das Symbol$=$wird als universelles logisches Symbol behandelt.

Andererseits haben wir die

Definition 2. Gegeben eine Menge$X$Und$x,y\in X$, wir sagen das "$x$gleich$y$" und schreibe "$x=y$" unter der Vorraussetzung, dass$xRy$, Wo$R$ist die Beziehung definiert durch$R=\{(x,x)\mid x\in X\}$und "Gleichheitsbeziehung" genannt.

Dabei ist die Tatsache, dass die Gleichheit (Gleichheitsrelation) reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, ein Theorem. Um dies zu beweisen, benötigen wir jedoch die Identitätsregel (insbesondere Reflexivität, Symmetrie und Transitivität der Identität). Es ist erlaubt, es zu verwenden, weil es Teil unserer grundlegenden Inferenzregeln ist. Und die Argumentation ist nicht zirkulär, weil wir unterschiedliche Vorstellungen von „Gleichheit“ verwenden.

Reflexivität: Für$x\in X$, wir haben$(x,x)$in der Gleichheitsrelation per Definition.

Symmetrie: Angenommen$(x,y)$steht im Gleichheitsverhältnis. Dann gilt per Definition$x=y$, So$y=x$; daher$(y,x)=(x,x)$steht im Gleichheitsverhältnis.

Transitivität: Angenommen$(x,y), (y,z)$stehen im Gleichstellungsverhältnis. Dann$x=y$Und$y=z$, So$x=z$. Somit$(x,z)=(x,x)$steht im Gleichheitsverhältnis.

Die Gleichheitsrelation ist also eine Äquivalenzrelation.

Sie können beweisen, dass die Gleichheitsrelation eine Äquivalenzrelation ist, indem Sie beweisen, dass sie Reflexivitäts-, Symmetrie- und Transitivitätsaxiome erfüllt.

Nachweisen. Satz$E=\{(x,x): x\in X\}$. Wir zeigen, dass es die drei Bedingungen nacheinander erfüllt.

• Reflexivität. Für alle$x\in X$, durch die Definition der Gleichheitsrelation, die wir haben$xEx$.
• Symmetrie. Für alle$x,y\in X$, Wenn$xEy$, auch durch die Definition der Gleichheitsrelation, die wir haben$x=y$, und das haben wir$yEx$.
• Transitivität. Für alle$x,y,z\in X$, Wenn$xEy$Und$yEz$, auch durch die Definition der Gleichheitsrelation, die wir haben$x=y=z$, und das haben wir$xEz$.

Daher kann ein beweisbarer Satz ohne Axiome als Prämissen angesehen werden, dass die Gleichheitsrelation eine Äquivalenzrelation ist!