Beweis der Existenz einer wohldefinierten Funktion f¯f¯\bar{f}(2)

Hier ist die Frage, die ich zu lösen versuche (sie wird auch in der Antwort auf diesen Link erwähnt):

Beweis der Existenz einer wohldefinierten Funktion F ¯ .

Lassen X Und Y zwei Sätze und lassen F : X → Y . Definiere für X 1 , X 2 ∈ X eine Beziehung ein X als X 1 ∼ X 2 Wenn F ( X 1 ) = F ( X 2 ) .

  1. Beweisen Sie, dass dies eine Äquivalenzrelation definiert X .

Jetzt können Sie über den Quotienten sprechen X / ∼ = { [ X ] : X ∈ X } , die Menge der Äquivalenzklassen.

Definieren F ¯ ( X ) : X / ∼ → Y als F ¯ ( [ X ] ) = F ( X ) . Da die Definition ein Element der Klasse verwendet, könnte dieses schlecht definiert sein.

  1. Beweisen Sie, dass dies wohldefiniert ist.

Jetzt definieren π : X → X / ∼ als π ( X ) = [ X ] .

Dann

  1. F = F ¯ ∘ π

  2. F ¯ ist injektiv

  3. π ist surjektiv

Für den Beweis von 1) und 5) habe ich kein Problem damit.

Zum Beweis von 2)

Annehmen, dass [ X 1 ] = [ X 2 ] Dann [ F ( X 1 ) ] = [ F ( X 2 ) ] aber dann weiß ich nicht, wie ich das vervollständigen soll. Könnte mir bitte jemand dabei helfen?

Zum Beweis von 3)

Ich weiß nicht wie ich es machen soll. Könnte mir bitte jemand dabei helfen?

Zum Beweis von 4)

Ich weiß, dass es das Gegenteil von 2 sein sollte)

Antworten (1)

Wenn Sie versuchen, 2) zu beweisen, setzen Sie eckige Klammern um F ( X 1 ) , F ( X 2 ) . Diese sind falsch (sagen eigentlich nichts, da keine Äquivalenzbeziehung definiert ist Y an dieser Stelle). Es sollte sein:

Zum Beweis von 2)

Annehmen, dass [ X 1 ] = [ X 2 ] Dann F ( X 1 ) = F ( X 2 )

Daraus geht hervor, dass F ¯ ( [ X ] ) = F ( X ) ist wohldefiniert, zB spielt es keine Rolle, welcher Vertreter der Klasse [ X ] Du suchst aus.

Für Teil 3):

F ¯ π ( X ) = F ¯ ( [ X ] ) = F ( X ) ,
durch Definition der Funktionen F ¯ Und π .

Für Teil 4): Sie haben Recht, es ist das Gegenteil von 2):

Wenn F ¯ ( [ X 1 ] ) = F ¯ ( [ X 2 ] ) Dann F ( X 1 ) = F ( X 2 ) So [ X 1 ] = [ X 2 ] , durch die Definition der Äquivalenzrelation.

im Beweis von Teil 2) sollte nicht F ( X 1 ) Und F ( X 2 ) in Äquivalenzklassen sein oder nicht und warum?
Nein. Der Punkt ist das, welches Element auch immer X 2 Sie entscheiden sich zu vertreten [ X 1 ] , wirst du immer haben F ( X 1 ) = F ( X 2 ) nach Definition der Äquivalenzrelation. Also die Ausgabe von F ¯ angewendet [ X 1 ] ist genau das Element F ( X 1 ) , keine Äquivalenzklasse. (Technisch könnte man eine Äquivalenzbeziehung definieren Y von j 1 ∼ j 2 dann und nur dann, wenn j 1 = j 2 , aber die Äquivalenzklassen würden in bijektiver Übereinstimmung mit stehen Y , also können Sie auch damit arbeiten Y selbst).
Beweis der Existenz einer wohldefinierten Funktion f¯f¯\bar{f}(2)
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