Äquivalenz von Gruppenaktionen, Transitivität und konjugierten Untergruppen

Einige vorläufige Definitionen und Eigenschaften:

Aktionen einer Gruppe$G$auf Sets$X$Und$Y$äquivalent sind , wenn die entsprechende Aktion von$G$auf Karten aus$X$Zu$Y$behebt eine Bijektion. In diesem Fall schreiben wir$X \sim Y$.

Eine Aktion heißt transitiv, wenn sie nur einen Orbit hat.

Gegeben eine Aktion einer Gruppe$G$auf einem Satz$X$,

der Stabilisator ,$G_x$, von$x$ist definiert durch

und die Umlaufbahn ,$Gx$, von$x$ist definiert durch

Eigenschaften:

(ich)$Gx \subset X$Und$G_x \le G$;

(ii) es gibt eine Bijektion von$Gx$zum Nebenklassenraum$G/G_x$; Und

(iii) wenn$G$ist dann endlich$|Gx|=|G/G_x|$.

Die Problemstellung:

Beweisen Sie Folgendes:

(a) Für jede Untergruppe$H$einer Gruppe$G$, die Aktion$G$durch Linkstranslation auf dem linken Nebenklassenraum$G/H$ist transitiv.

(b) Jede transitive Aktion einer Gruppe$G$auf einem Satz$X$entspricht der Aktion$G$durch Linksübersetzung auf dem Nebenklassenraum$G/G_x$, für jede$x \in X$.

(c) Für Untergruppen$H$Und$K$von$G$, die linken Übersetzungsaktionen von$G$An$G/H$Und$G/K$sind genau dann äquivalent, wenn$H$Und$K$sind konjugiert.

Wo bin ich:

Für Teil (a): Die Wirkung von$G$durch Linkstranslation auf dem linken Nebenklassenraum$G/H$hat nur eine Umlaufbahn und ist somit transitiv. (also seit$gH=g \cdot H$, die Umlaufbahn von$H \in G/H$ist der gesamte Nebenklassenraum.) [Ich verstehe das ziemlich genau. Es war hauptsächlich das Ergebnis des Zusammensetzens von Definitionen und Eigenschaften, aber es ergibt für mich nicht allzu viel intuitiven Sinn.]

Für Teil (b): Seit$Gx \subset X$und wir betrachten transitive Aktionen von$G$An$X$(dh Aktionen mit nur einer Umlaufbahn), in diesem Fall$Gx = X$[Ich bin mir nicht sicher, ob das stimmt, aber es scheint richtig zu sein. Ich würde es gerne beweisen können, aber ich weiß nicht wie]. Wir wissen, dass es eine Bijektion gibt$f: Gx \to G/G_x$, also muss es auch so sein$f$Karten aus$X$Zu$G/G_x$bijektiv. [Hier muss ich beweisen, dass die Aktion von$G$An$f$behebt$f$, was ich nicht herausfinden kann.] Seit der Aktion von$G$An$f$behebt$f$, wir haben das$X \sim G/G_x$, wie gewünscht.

Zu Teil (c): Bei diesem habe ich die geringsten Fortschritte gemacht. Zu zeigen, dass$H$Und$K$konjugiert sind, nehme ich an, dass ich das zeigen muss$K = gHg^{-1}$, für einige$g \in G$, Und$H = gKg^{-1}$, für einige$g \in G$. Ich kann sehen, wie dies der Fall wäre, wenn diese Untergruppen wären$normal$In$G$, aber ich kann es anscheinend nicht aus den gegebenen Annahmen bekommen. Offensichtlich ist diese Aussage bikonditionell, also muss ich auch die andere Richtung beweisen; aber ich würde mich über mindestens One Direction freuen$^{\text{TM}}$.