Axiomatisches Framework, das für das Forcen von Klassen verwendet wird

Beim Class Forcing muss man zwangsläufig richtige Klassen als konkrete mathematische Objekte diskutieren.

Zum Beispiel sprechen wir bei der Definition von Frühgeborenheit in Kapitel 8, Definition 2.2 des Handbuchs, von einer Abfolge von Klassen, die wir später aufzählen. Ich versuche zu verstehen, in welchem ​​axiomatischen Rahmen wir arbeiten könnten.

Bei ZFC können wir auf diese Weise nicht über Klassen sprechen. In NBG können wir über Klassen sprechen, aber wir können sie nicht quantifizieren. Insbesondere wenn eine Klasse Mitglied einer anderen Klasse ist, muss es sich um eine Menge handeln, sodass wir nicht von einer unendlichen Folge von ihnen sprechen können. Aber unsere Sequenz besteht aus richtigen Klassen. Wenn wir zu MK aufsteigen, dann ist unsere Theorie keine konservative Erweiterung von ZFC mehr, und wir können nicht wirklich sicher sein, dass unsere Schlussfolgerungen über Sets in ZFC gültig sind.

Alternativ könnten wir versuchen, unsere Diskussion zu rechtfertigen, indem wir nach innen arbeiten v κ , für einige κ unzugänglicher Kardinal. Dann werden all unsere lästigen Klassen zu Sets. Dies setzt jedoch die Existenz eines solchen Kardinals voraus, von dem ich nicht glaube, dass die Theorie des Klassenzwangs wirklich darauf ankommt.

In welchem ​​axiomatischen Rahmen arbeiten wir, wenn wir über Klassenerzwingung diskutieren?

Nur eine kleine Bemerkung, wenn Sie sich wohler fühlen v κ für einen unzugänglichen Kardinal als mit Kelley-Morse, dann machen Sie es rückwärts. Seit v κ + 1 ein Modell von Kelley-Morse wäre, bedeutet dies, dass die Annahme aus fundamentaler Sicht stärker ist.

Antworten (1)

Zunächst einmal können Sie über Klassen in NBG quantifizieren. Sonst wäre es nicht viel von einer klassengestützten Mengenlehre. Was Sie jedoch nicht tun können, ist Comprehension mit Klassenquantoren zu verwenden.

Beachten Sie, dass Sie genau wie in ZFC eine Klasse haben, wenn Sie Ihre Klassen einheitlich indizieren können { ⟨ ich , v ⟩ ∣ ich ∈ ICH , φ ( v , ich ) } Wo φ ist eine einheitliche Definition (z. B. kann ein Bodenmodell einheitlich mit variierenden Parametern definiert werden). In diesem Fall ist die ich Klasse erhält man durch einfaches Ablegen { X ∣ φ ( v , ich ) } . Es ist sicherlich ein Gegenstand der Theorie, und das Verständnis liegt durchaus in der Macht von NBG (und sogar ZFC, wenn Sie Klassen als formale Objekte betrachten).

Sie können NBG also sicherlich verwenden, um das Erzwingen von Klassen zu formalisieren. Wann immer Sie über Klassen quantifizieren, kann dies bei Bedarf in ein Schema-Theorem umgewandelt werden. Nämlich ein Theorem, bei dem es einen metatheoretischen Universalquantor gibt, aber die Theorie (in diesem Fall NBG) jeden einzelnen Fall beweist. Diese Situation ähnelt dem Beweis dafür L ist ein Modell von ZFC, das selbst ein Schema-Theorem ist.

Auf jeden Fall gibt es in letzter Zeit viele Arbeiten zu diesem Thema. Sie können beginnen, indem Sie sich die folgenden Papiere ansehen:

  1. The Ground Axiom , die Doktorarbeit von Jonas Reitz, die einen Anhang mit dem Rahmenwerk für das Erzwingen von Klassen enthält.

  2. Klassenzwang, das Zwangstheorem und boolesche Vervollständigungen , von Peter Holy, Regula Krapf, Philipp Lücke, Ana Njegomir, Philipp Schlicht.

  3. Charakterisierungen der Frühgeborenheit und der Ord-cc , von Peter Holy, Regula Krapf, Philipp Schlicht.

  4. Hinreichende Bedingungen für das Forcierungstheorem und das Umwandeln echter Klassen in Mengen , von Peter Holy, Regula Krapf, Philipp Schlicht.

  5. Die genaue Stärke des Klassenzwangssatzes , von Victoria Gitman, Joel David Hamkins, Peter Holy, Philipp Schlicht, Kameryn Williams.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Aussage über den Unterricht in NBG verstehe. Gemäß der Axiomatisierung, die ich gesehen habe, ist die Zugehörigkeit nur für eine Menge in einer Klasse definiert, nicht für Klassen in einer Klasse. Wie können wir also eine Reihe von Klassen oder sogar eine Klasse von Klassen diskutieren?
מה הקשר בין מחט לתחת? :)
Okay Asaf :). Sie haben Recht mit der Quantifizierung, ich habe die Quelle nicht richtig gelesen. Aber mein Hauptproblem ist immer noch, wie können Sie über die Reihenfolge der Klassen sprechen?
Nun, wo genau wollen Sie über eine Abfolge von Klassen sprechen?
Nun, in meiner Diplomarbeit :). Genauer gesagt versuche ich, mit einer 'Sammlung innerer Modelle' von V zu arbeiten, und es ist nicht einfach ...
@AlonNavon: Eine Klasse gegeben ICH , können Sie eine definieren ICH -indizierte Klassenfamilie, um nur eine Unterklasse zu sein S von ICH × v , wobei die Klasse entspricht ich ∈ ICH Ist { X : ( ich , X ) ∈ S } .
@Alon: Ja, Sammlungen von inneren Modellen sind nicht einfach zu quantifizieren. Wenn sie alle Gründe sind oder Teil des generischen Multiversums eines festen, dann können wir es tun. Aber ansonsten gibt es keine klare Möglichkeit, diese Klasse in NBG zu quantifizieren.
@Alon: Ein Ausweg ist ein "Vorlagensatz". Es ist ein Theorem, dass man immer dann etwas beweisen kann, wenn man eine Klasse hineinsteckt, die diese und jene Eigenschaften hat (z. B. ein inneres Modell). Dann erfolgt die Quantifizierung über eine Sammlung innerer Modelle in der Metatheorie. Aber Sie erhalten immer noch die Ergebnisse zum größten Teil.
@AsafKaragila Was genau ist ein "Vorlagensatz"? Ich habe versucht, es nachzuschlagen, aber natürlich bekomme ich nur lyx-Mathe-Vorlagen. :)
@Alon: Es ist kein richtiger Begriff. Das bedeutet, dass die Quantifizierung im Meta-Theorem enthalten ist. So ähnlich wie wir beweisen können, dass es für jedes Axiom von ZFC in L gilt. Der allgemeine Beweis ist derselbe, aber letztendlich ist es ein Template-Theorem: ZFC beweist jede Instanz, aber nicht einheitlich.
@EricWofsey Was Sie sagen, ist, eine Klasse von Paaren aufzubauen ( ich , X ) , so weit, so gut, und verwenden Sie dann das Klassenverständnis, wenn wir uns auf eine bestimmte Klasse beziehen möchten. Das ist ziemlich ordentlich. Vielleicht reicht es sogar für mein Problem.
@Alon: Ich wollte diesen Kommentar so machen wie Eric. Aber es ist irgendwie offensichtlich ... anscheinend nicht offensichtlich genug. :P
@AsafKaragila In Bezug auf die ursprüngliche Frage sagen Sie im Grunde, dass wir NBG verwenden und bei Bedarf auf die Metatheorie zurückgreifen? Ist das nicht ein bisschen faul? Es ist schön, dass es einen einfachen Trick gibt, um mit indizierten Klassen zu arbeiten, aber reicht das aus?
@Alon: Nein, es ist in Ordnung. Wir tun es die ganze Zeit in Logik. Wenn wir zum Beispiel Logik in die natürlichen Zahlen in PA codieren, machen wir das zuerst in der Metatheorie und dann sagen wir "Oh, hey, eigentlich beweist PA das ganze Zeug schon!".
Okay, ich werde die Antwort akzeptieren, aber ich denke, Sie sollten die Antwort präzisieren.
@Alon: Ich werde gerne klären. Aber ich bin mir nicht ganz sicher, was. Ich habe das Gefühl, dass Sie eine Frage gestellt haben (die berechtigt ist), aber Sie wollten eigentlich eine ganz andere Frage stellen.
Ich hatte eine gut definierte Systemantwort erwartet, wie "NBG" oder "MK". Wenn wir uns auf die Meta-Theorie berufen müssen, dann sollte das explizit gesagt werden.
@Alon: Ist das besser?
Einfach perfekt. :)
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