Welche Mengen erhält man, wenn man ℵ1ℵ1\aleph_1 Vereinigungen und Schnittmengen zur Borel-Algebra hinzufügt?

Das ist eine ausgezeichnete Frage! Beachten Sie zunächst, dass es allein aus kardinal-arithmetischen Überlegungen unabhängig ist, ob wir alle Mengen erhalten (und daher auch, ob wir alle Lebesgue-messbaren Mengen erhalten).

Der richtige Kontext, um diese Frage zu untersuchen, ist die deskriptive Mengenlehre, und tatsächlich wurde das Problem schon früh berücksichtigt. Zum Beispiel bewies Sierpiński in Sur une classe d'ensembles , Fundamenta Mathematicae 7 (1925), 237–243, dass alles$\mathbf\Sigma^1_2$Mengen sind Vereinigungen von$\aleph_1$viele Borel-Sets. Denken Sie daran, dass a$\mathbf\Sigma^1_2$Menge ist eine, die das stetige Bild des Komplements des stetigen Bildes einer Borel-Menge ist.

[Beachten Sie, dass es konsistent ist, dass es solche gibt$\mathbf\Sigma^1_2$Mengen, die nicht Lebesgue-messbar sind.]

Um 1970 bewiesen Martin und Solovay, dass die Konjunktion von Martins Axiom,$\lnot\mathrm{CH}$, und die Aussage, dass$\omega_1$für reelle Zahlen zugänglich ist, impliziert das Gegenteil: Jede Vereinigung von$\aleph_1$viele Borel-Sets ist$\mathbf\Sigma^1_2$. Die Aussage, dass$\omega_1$ist für reelle Zahlen zugänglich bedeutet, dass es eine reelle Zahl gibt$r$so dass$\omega_1^{L[r]}=\omega_1$. Andererseits zeigte Solovay, dass nicht viel mehr gesagt werden kann: Es ist konsistent damit, dass das Kontinuum beliebig groß ist, dass es a gibt$\mathbf\Pi^1_2$Menge (d. h. eine Menge, die das Komplement von a ist$\mathbf\Sigma^1_2$set), die nicht die Vereinigung von weniger als ist$2^{\aleph_0}$viele Borel-Sets.

Man kann trotzdem weitermachen und sich fragen, was gesagt werden kann, wenn wir längere Gewerkschaften zulassen. Das richtige Werkzeug, um das Problem zu untersuchen, ist jetzt der Begriff$\kappa$-Suslin-Satz. Es ist einfacher, mit dem Baire-Raum zu arbeiten als mit der euklidischen Linie, aber das macht seit dem Baire-Raum keinen Unterschied$\omega^\omega$ist homöomorph zu den Irrationalen. Eine Teilmenge$A$von$\omega^\omega$Ist$\kappa$-Suslin genau dann, wenn es einen Baum gibt$T$An$\omega\times\kappa$so dass$A=p[T]$. Erinnere dich daran, dass ein (deskriptiver mengentheoretischer) Baum auf einer Menge liegt$B$ist eine Menge von endlichen Folgen von Elementen von$B$unter Anfangssegmenten geschlossen. Für$B=\omega\times\kappa$, können wir jede solche Folge mit zwei Folgen gleicher Länge identifizieren, von denen eine aus endlichen Zahlen und die andere aus Gliedern von besteht$\kappa$. Eine Verzweigung durch$T$ist eine unendliche Folge, in der alle endlichen Anfangssegmente enthalten sind$T$oder, denken an$T$Da er aus Paaren von Sequenzen besteht, wäre ein Zweig ein Paar$(x,t)$Wo$x\in\omega^\omega$(ein "echtes") und$t\in\kappa^\omega$; die Menge aller Zweige durch$T$bezeichnet ist$[T]$. Die Projektion$p[T]$ist definiert als die Menge der reellen Zahlen$x$für die wir ein finden können$t\in\kappa^\omega$mit$(x,t)\in[T]$.

Martin hat bewiesen, dass für alle (endlichen)$n>0$, Die$\omega_n$-Suslin-Mengen sind genau diejenigen, die die Vereinigung von sind$\aleph_n$viele Borel-Sets. Im Zusammenhang mit der Bestimmtheit ist das Ausmaß der$\kappa$-Suslin-Sets wurde für verschiedene genau identifiziert$\kappa$(deutlich über die$\omega_n$). Dies impliziert Ergebnisse über den Umfang dieser Mengen unter geeigneten großen Kardinalannahmen und wurde auch anhand des Erzwingens von Axiomen untersucht.

Das von Ihnen beschriebene Mengensystem ist das$\omega_1$-Borel-Hierarchie . Ich weiß nicht, wer es zuerst eingeführt hat, aber Arnie Miller hat eine Menge Arbeit darüber und verwandte Themen - siehe zB diesen Artikel und diese Sammlung von Notizen .

Das liegt weit außerhalb meiner Komfortzone, also lassen Sie mich kurz etwas zu einer der sehr grundlegenden Fragen sagen (schrecklich abschreiben von Seite$2$von Millers oben erwähntem Artikel und unter Verwendung seiner Notation): Können wir alle Sets bekommen, und wenn ja, wann? Davon müssen wir natürlich ausgehen$\neg$CH, damit etwas Interessantes passiert.

• Steprans zeigte, dass das konsequent ist$\Pi_3^*=\Sigma_3^*=\mathcal{P}(2^\omega)$, Aber$\Pi_2^*$Und$\Sigma_2^*$sind unvergleichliche echte Teilmengen von$\mathcal{P}(2^\omega)$. Ich weiß nichts über seinen Beweis, aber Miller erwähnt, dass das Modell, das er produziert, einen hat$2^\omega=\aleph_{\omega_1}$, und Carlson zeigte das, um jeden Satz zu haben$\omega_1$-Borel müssen wir haben$cf(2^\omega)=\omega_1$. Also in gewissem Sinne: „Jedes Set ist$\omega_1$-Borel“ hat einen „CHy-Geschmack“.

• Steprans beobachtete weiter, dass ZFC+$\neg$CH impliziert, dass wir nicht haben können$\Sigma^*_2=\mathcal{P}(2^\omega)$. Zum Beispiel$A$waren ein$\Sigma^*_2$Satz Größe$>\omega_1$(die vorhanden sein muss, da CH ausfällt). Dann als Vereinigung von$\omega_1$- viele abgeschlossene Mengen, muss es eine unzählbare abgeschlossene Menge und damit eine perfekte Teilmenge enthalten. Aber betrachten Sie nun eine beliebige Bernstein-Menge des Kardinalitätskontinuums.

• Schließlich – und das ist Millers eigenes Ergebnis – Martins Axiom at$\omega_1$allein impliziert, dass die Hierarchie nicht zusammenbricht; jedoch ZFC+$\neg$CH allein sagt uns offensichtlich nicht einmal das$\Pi^*_2\not=\Sigma^*_2$(Miller listet dies als offen auf).

Wie oben erwähnt, liegt dies weit außerhalb meines Lese- und Schreibvermögens; bitte lassen Sie mich wissen, wenn ich Fehler gemacht habe!